Beweis: ggT ist Teiler < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:55 Fr 04.01.2013 | | Autor: | Neongelb |
| Aufgabe | Seien a, b, c [mm] \in \IZ [/mm] beliebig. Zeigen Sie.
[mm] \exists [/mm] x, y [mm] \in \IZ [/mm] mit ax + by = c [mm] \gdw [/mm] ggT(a,b) | c |
Hi,
meine Lösung:
[mm] \Rightarrow
[/mm]
Es gilt:
ggT(a, b) | b [mm] \Rightarrow [/mm] ggT(a,b) | by
ggT(a, b) | a [mm] \Rightarrow [/mm] ggT(a,b) | ax
ggT(a, b) [mm] \Rightarrow [/mm] ggT(a,b) | a+b
deshalb gilt auch: ggT(a, b) [mm] \Rightarrow [/mm] ggT(a,b) | ax+by
Die andere Richtung der Äquivalenz müsste dann ja im Prinzip nur andersrum gezeigt werden.
Ist das sowohl inhaltlich als auch formal korrekt?
Danke schonmal :).
Grüße
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Hallo Neongelb,
> Seien a, b, c [mm]\in \IZ[/mm] beliebig. Zeigen Sie.
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> [mm]\exists[/mm] x, y [mm]\in \IZ[/mm] mit ax + by = c [mm]\gdw[/mm] ggT(a,b) | c
> Hi,
> meine Lösung:
>
> [mm]\Rightarrow[/mm]
> Es gilt:
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> ggT(a, b) | b [mm]\Rightarrow[/mm] ggT(a,b) | by
> ggT(a, b) | a [mm]\Rightarrow[/mm] ggT(a,b) | ax ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> ggT(a, b) [mm]\Rightarrow[/mm] ggT(a,b) | a+b
Was soll das denn formal bedeuten??
Da steht sowas wie: [mm] $3\Rightarrow 3\mid [/mm] 5$
Was du meinst ist, dass aus [mm] $\ggT(a,b)\mid [/mm] by$ und [mm] $\ggT(a,b)\mid [/mm] ax$ folgt, dass auch [mm] $\ggT(a,b)\mid [/mm] ax+by$ gilt.
>
> deshalb gilt auch: ggT(a, b) [mm]\Rightarrow[/mm] ggT(a,b) | ax+by
Eieiei, formal haarsträubend!
Aber die Idee ist richtig! Schreibe das nur nochmal "gesund" auf.
>
> Die andere Richtung der Äquivalenz müsste dann ja im
> Prinzip nur andersrum gezeigt werden.
Naja, wie? Mache das doch mal ...
Ich denke nicht, dass das nur "andersherum" geht ...
>
> Ist das sowohl inhaltlich als auch formal korrekt?
Die eine Richtung ist inhaltl. korrekt, formal aber komisch ...
Die andere Richtung musst du noch machen!
>
> Danke schonmal :).
>
> Grüße
>
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:38 Fr 04.01.2013 | | Autor: | Neongelb |
> Hallo Neongelb,
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> > Seien a, b, c [mm]\in \IZ[/mm] beliebig. Zeigen Sie.
> >
> > [mm]\exists[/mm] x, y [mm]\in \IZ[/mm] mit ax + by = c [mm]\gdw[/mm] ggT(a,b) | c
> > Hi,
> > meine Lösung:
> >
> > [mm]\Rightarrow[/mm]
> > Es gilt:
> >
> > ggT(a, b) | b [mm]\Rightarrow[/mm] ggT(a,b) | by
> > ggT(a, b) | a [mm]\Rightarrow[/mm] ggT(a,b) | ax
> >
> > ggT(a, b) [mm]\Rightarrow[/mm] ggT(a,b) | a+b
>
> Was soll das denn formal bedeuten??
Das soll bedeuten: ggT(a,b)|a [mm] \wedge [/mm] ggt(a,b)|b [mm]\Rightarrow[/mm] ggT(a,b) | a+b
Ist das so korrekt? :P
> Da steht sowas wie: [mm]3\Rightarrow 3\mid 5[/mm]
>
> Was du meinst ist, dass aus [mm]\ggT(a,b)\mid by[/mm] und
> [mm]\ggT(a,b)\mid ax[/mm] folgt, dass auch [mm]\ggT(a,b)\mid ax+by[/mm]
> gilt.
Okay, genau ich meinte: ggT(a,b)|ax [mm] \wedge [/mm] ggt(a,b)|by [mm]\Rightarrow[/mm] ggT(a,b) | ax+by
> Eieiei, formal haarsträubend!
>
> Aber die Idee ist richtig! Schreibe das nur nochmal
> "gesund" auf.
>
> >
> > Die andere Richtung der Äquivalenz müsste dann ja im
> > Prinzip nur andersrum gezeigt werden.
>
> Naja, wie? Mache das doch mal ...
>
> Ich denke nicht, dass das nur "andersherum" geht ...
Hm, okay:
Wenn ggT(a,b)|c, dann muss ein a, b [mm] \in \IZ [/mm] existieren, sodass ax + by = c, weil gilt:
ggT(a,b)|c [mm] \Rightarrow [/mm] ggT(a,b)|a [mm] \wedge [/mm] ggT(a,b)|b
Und weil ggT(a,b)|c muss ein x,y existieren, sodass ax +bx = 0
Okay das ist doch schwerer als gedacht. Geht das in die richtige Richtung?
> > Ist das sowohl inhaltlich als auch formal korrekt?
>
> Die eine Richtung ist inhaltl. korrekt, formal aber komisch
> ...
>
> Die andere Richtung musst du noch machen!
>
> LG
>
> schachuzipus
>
Vielen Dank,
Grüße
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:13 So 06.01.2013 | | Autor: | Neongelb |
Ich bin weiterhin an einer Antwort interessiert. Wäre also nett wenn mir da jemand weiterhelfen könnte :P
Grüße
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Hallo,
sei d=ggT(a,b).
Wenn du die Gleichung jetzt durch d teilst, erhälst du [mm] \bruch{a}{d}x+\bruch{b}{d}y=\bruch{c}{d}.
[/mm]
Da d|a und d|b gilt (also deren Quotienten ganze Zahlen sind) und x und y auch ganze Zahlen sind, was gilt dann für [mm] \bruch{c}{d} [/mm] ?
Ich würd es in der Richtung beweisen.
Gruß Miraculics
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Hi,
Dann gilt auch d|c.
Dies ist jedoch wieder der Beweis in [mm] \Rightarrow [/mm] -Richtung oder?
Kannst du mir vielleicht auch beim Beweis in [mm] \Leftarrow [/mm] -Richtung einen Tipp geben?
Danke dir :P,
Grüße
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Mi 09.01.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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