Beweis in 3R < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Ich soll folgende Sache beweisen und bin mir aber nicht sicher, ob dass so richtig ist:
v=v(t); a=a (t)
mit v als geschwindigkeitvektoren und a als Beschleunigungvektoren in 3R Beweise dass die Veraenderungs
rate der geschwindikeit als d/dt (‖v‖ )=(v∙a)/‖v‖
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Ich habe jetzt folgendes gemacht und wuerde gern wissen ob es so stimmt oder nicht:
Beweis:
a muss in der Ebene von T und N liegen und daraus folgt, dass fuer jeden Zeitpunkt t die Komponenten der Beschleunigungsvektoren T und N sind:
[mm] a_t= [/mm] a∙ T
[mm] a_n=a∙N
[/mm]
Desweiteren weil a=v' und T=v/‖v‖ kann man folgendes sagen:
[mm] a_T=a∙T
[/mm]
=T∙a
=v/‖v‖ ∙a
Vielen dank
Julia
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:22 Mo 05.10.2009 | | Autor: | Fulla |
Hallo Julia,
was sind denn N und T? Normalen- und Tangentialvektor?
Du kannst das ganze auch rein mathematisch lösen, wenn du den Betrag durch das Skalarprodukt darstellst:
[mm] $\frac{d}{dt}\|v\|=\frac{d}{dt}\sqrt{\langle v,v\rangle}=\frac{1}{2\sqrt{\langle v,v\rangle}}\Big(\langle v',v\rangle+\langle v,v'\rangle\Big)=\frac{2\langle v',v\rangle}{2\sqrt{\langle v,v\rangle}}=\frac{\langle a,v\rangle}{\|v\|} [/mm] $
Dabei wurde die Produktregel verwendet und, dass [mm] $\langle a,b\rangle=\langle b,a\rangle$ [/mm] ist.
Lieben Gruß,
Fulla
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Hallo Fulla'
N und T sind die die Normal und Tangential Komponenten.
Danke fuer deine Antwort. Mein professor meinte man sollte einen Positionsvektor aufstellen und irgendwie kommt des bei mir nicht vor.
Julia
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> Hallo Fulla'
> N und T sind die die Normal und Tangential Komponenten.
> Danke fuer deine Antwort. Mein professor meinte man sollte
> einen Positionsvektor aufstellen und irgendwie kommt des
> bei mir nicht vor.
> Julia
Hallo Julia,
der von Fulla vorgeschlagene Weg ist eigentlich
eleganter als was der Prof gesagt hat. Wenn du
den Positionsvektor r(t) einführst, hast du v(t)=r'(t)
und a(t)=v'(t)=r''(t) und hast damit auch mit zweiten
Ableitungen zu tun, was Fulla mit seinem Ansatz
vermeidet.
Zur Übung kannst du den längeren Weg natürlich
auch noch aufschreiben.
LG Al-Chw.
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