Beweis kommutativer Monoide < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Für alle a,b [mm] \in \IQ [/mm] setzen wir [mm] a\Delta [/mm] b:= ab+a+b
(a) Zeigen Sie, dass [mm] (\IZ, \Delta) [/mm] ein kommutatives Monoid ist und bestimmen Sie alle bezüglich [mm] \Delta [/mm] invertierbaren Elemente von [mm] \IZ.
[/mm]
(b) Zeigen Sie, dass [mm] (\IQ [/mm] \ {1}, [mm] \Delta) [/mm] eine abelsche Gruppe ist
HINWEIS: Man zeige zunächst, dass auch [mm] (\IQ, \Delta) [/mm] kommutatives Monoid ist. Hierzu ist vielleicht die Beziehung a [mm] \Delta [/mm] b = (a+1)(b+1) -1 hilfreich. |
Da ich zunächst zeigen soll, dass auch [mm] (\IQ, \Delta) [/mm] ein kommutatives Monoid ist, habe ich zuerst die Assoziativität folgendermaßen bewiesen:
a [mm] \Delta [/mm] b = (a+1)(b+1)-1 = ab+a+b+1-1= ab+a+b [mm] \to [/mm] (ab+a)+b = ab+(a+b) [mm] \Box [/mm]
Und die Kommutativität so:
ab+a+b = ab+b+a = b+a+ab = b+ab+a = a+ab+b = a+b+ab [mm] \Box
[/mm]
Was mir jetzt Probleme macht, ist nachzuweisen, was hier das neutrale Element e ist. Oder gibt es hier zwei neutrale Elemente?
Die zweite Frage habe ich zu den invertierbaren Elementen. Ich weiß, dass a^*x a = e ist. Wie gehe ich hier den formalen Beweis an?
Vielen Dank für eure Hilfe!
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Hallo Zero-Zero!
> Für alle a,b [mm]\in \IQ[/mm] setzen wir [mm]a\Delta[/mm] b:= ab+a+b
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> (a) Zeigen Sie, dass [mm](\IZ, \Delta)[/mm] ein kommutatives Monoid
> ist und bestimmen Sie alle bezüglich [mm]\Delta[/mm] invertierbaren
> Elemente von [mm]\IZ.[/mm]
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> (b) Zeigen Sie, dass [mm](\IQ[/mm] \ {1}, [mm]\Delta)[/mm] eine abelsche
> Gruppe ist
Schreibfehler!!!
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> HINWEIS: Man zeige zunächst, dass auch [mm](\IQ, \Delta)[/mm]
> kommutatives Monoid ist. Hierzu ist vielleicht die
> Beziehung a [mm]\Delta[/mm] b = (a+1)(b+1) -1 hilfreich.
> Da ich zunächst zeigen soll, dass auch [mm](\IQ, \Delta)[/mm] ein
> kommutatives Monoid ist, habe ich zuerst die
> Assoziativität folgendermaßen bewiesen:
>
> a [mm]\Delta[/mm] b = (a+1)(b+1)-1 = ab+a+b+1-1= ab+a+b [mm]\to[/mm] (ab+a)+b
> = ab+(a+b) [mm]\Box[/mm]
?
>
> Und die Kommutativität so:
> ab+a+b = ab+b+a = b+a+ab = b+ab+a = a+ab+b = a+b+ab [mm]\Box[/mm]
?
Für die Kommutativität von $ [mm] (\mathbb [/mm] Q, [mm] \Delta) [/mm] $ muss $a [mm] \Delta [/mm] b = b [mm] \Delta [/mm] a$ für alle $a,b [mm] \in \mathbb [/mm] Q$ gezeigt werden.
Für die Assoziativität musst Du nachweisen, dass $(a [mm] \Delta b)\Delta [/mm] c = a [mm] \Delta (b\Delta [/mm] c)$ für alle $a,b,c [mm] \in \mathbb [/mm] Q$ ist.
Mit dem Hinweis, der Kommutativität von [mm] $\Delta$ [/mm] und der Symmetrie des resultierenden Ausdrucks ist das wahrscheinlich leichter einzusehen, als beide Ausdrücke auszuschreiben und zu vergleichen.
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> Was mir jetzt Probleme macht, ist nachzuweisen, was hier
> das neutrale Element e ist.
Jemand mit deinem Namen sollte es herausfinden!
> Oder gibt es hier zwei neutrale
> Elemente?
Gibt es zwei? ($e'e = e = e'$)
Das eine neutrale Element $e$ erhält man durch Lösen der Gleichung $e [mm] \Delta [/mm] a = ea+e+a =a $.
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> Die zweite Frage habe ich zu den invertierbaren Elementen.
> Ich weiß, dass a^*x a = e ist. Wie gehe ich hier den
> formalen Beweis an?
Für ein inverses Element $a'$ zu $a$ gilt: [mm] $a'\Delta [/mm] a = a'a +a' +a= e$. Einfach nach $a'$ auflösen. Welche inversen Elemente liegen in [mm] $\mathbb [/mm] Z$?
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> Vielen Dank für eure Hilfe!
LG mathfunnel
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