Beweis liefern < Induktion < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:28 Di 24.03.2009 | | Autor: | Dinker |
Hallo
Beweise, dass für jedes n [mm] \varepsilon \IN [/mm] gilt: [mm] (9^{n} [/mm] -1) ist ohne Rest durch 8 teilbar.
Ich seh leider überhaupt nicht wie ich diesen Beweis liefern könnte.
Wäre sehr dankbar um Hilfe
Danke
Gruss Dinker
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:30 Di 24.03.2009 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Bist du mit vollständiger Induktion vertraut?
Oder sollt ihr das anders machen?
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:31 Di 24.03.2009 | | Autor: | Dinker |
Hallo Teufel
Nein leider kenn ich mich mit Induktion überhaupt nicht aus
Gruss DInker
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:32 Di 24.03.2009 | | Autor: | Teufel |
Habt ihr dann wenigstens den Hinweis bekommen, das ihr es so machen sollt?
Teufel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:35 Di 24.03.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo
> Beweise, dass für jedes n [mm]\varepsilon \IN[/mm] gilt: [mm](9^{n}[/mm] -1)
> ist ohne Rest durch 8 teilbar.
>
> Ich seh leider überhaupt nicht wie ich diesen Beweis
> liefern könnte.
> Wäre sehr dankbar um Hilfe
wenn Dir, wie ich gelesen habe, vollständige Induktion nicht bekannt ist, dann wende die ![[]](/images/popup.gif) allg. binomische Formel an:
[mm] $$9^n-1=(8+1)^n-1=...$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:44 Di 24.03.2009 | | Autor: | fred97 |
Noch ein Vorschlag:
Es ist für n [mm] \ge [/mm] 1:
[mm] \summe_{i=1}^{n-1}9^i [/mm] = [mm] \bruch{9^n-1}{9-1} [/mm] = [mm] \bruch{9^n-1}{8},
[/mm]
also
[mm] $9^n-1 [/mm] = [mm] 8(\summe_{i=1}^{n-1}9^i) [/mm] $
Das lässt folgende Verallg. zu ( man ersetze $9$ durch $q$):
Für $q [mm] \in \IN$ [/mm] und [mm] $q\ge2$ [/mm] ist [mm] $q^n-1$ [/mm] ohne Rest durch $q-1$ teilbar
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:09 Di 24.03.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Noch ein Vorschlag:
>
> Es ist für n [mm]\ge[/mm] 1:
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n-1}9^i[/mm] = [mm]\bruch{9^n-1}{9-1}[/mm] =
> [mm]\bruch{9^n-1}{8},[/mm]
> also
>
> [mm]9^n-1 = 8(\summe_{i=1}^{n-1}9^i)[/mm]
>
> Das lässt folgende Verallg. zu ( man ersetze [mm]9[/mm] durch [mm]q[/mm]):
>
> Für [mm]q \in \IN[/mm] und [mm]q\ge2[/mm] ist [mm]q^n-1[/mm] ohne Rest durch [mm]q-1[/mm]
> teilbar
@ Dinker:
Ich schreibe Dir das von Fred vorgeschlagene ganze mal in ein wenig 'schulgerechterer' Form, ich hatte oben auch übersehen, dass Du noch zur Schule gehst und vll. wenig bis keine Erfahrung mit dem Summenzeichen hast:
Es gilt die geometrische Summenformel, bzw. ich leite die entsprechende Formel kurz schnell für [mm] $a_0=1$ [/mm] und [mm] $q\,=9$ [/mm] (im Wikilink) her:
Aus
[mm] $$(i)\;\;\;\underbrace{1}_{=9^0}+\blue{9+9^2+...+9^{m}}=:s_m\;\;\;(m \in \IN_0)$$
[/mm]
folgt
[mm] $$(ii)\;\;\;\blue{9+9^2+....+9^{m-1}+9^{m}}+9^{m+1}=9s_m\,,$$
[/mm]
und [mm] $(ii)\,-\,(i)$ [/mm] liefert
[mm] $$9s_m-s_m=9^{m+1}-1$$
[/mm]
bzw.
[mm] $$s_m=(9^{m+1}-1)/8\,.$$ [/mm]
Wegen [mm] $s_m=1+9+...+9^{m}$ [/mm] ist aber [mm] $s_m \in \IN$ [/mm] für $m [mm] \in \IN_0$ [/mm] klar (weil [mm] $s_m$ [/mm] die Summe natürlicher Zahlen ist), also ist auch [mm] $\frac{9^{m+1}-1}{8} \in \IN$. [/mm] Mit [mm] $n:=\,m+1 \in \IN$ [/mm] wissen wir folglich, dass für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] (bei mir gilt $0 [mm] \notin \IN$) [/mm] gilt:
[mm] $$(9^n-1)\text{ ist durch }8 \text{ teilbar}\,,$$ [/mm]
und wenn bei Euch auch $0 [mm] \in \IN\,,$ [/mm] so siehst Du auch die Teilbarkeit von [mm] $9^0-1$ [/mm] durch [mm] $8\,$ [/mm] ein, da ja [mm] $9^0-1=1-1=0\,.$
[/mm]
P.S.:
Ich denke, dass Fred mit seinem Vorschlag hier den Nagel auf den Kopf getroffen hat, also dass das wirklich ein Beweis ist, der auch für Schüler verständlich ist. Bei der allg. bin. Formel bin ich mir nicht so ganz sicher, ob sie schon in der Schule Verwendung findet, wenngleich man diese auch auf kombinatorischen Wege herleiten kann...
Gruß,
Marcel
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