Beweis lineare Abbildung < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:47 Mo 09.02.2009 | | Autor: | pawlow |
| Aufgabe | Die reellen Polynome vom Grad höchstens 3 in der Unbestimmten $x$ bilden einen
Vektorraum über [mm] $\IR$, [/mm] der mit [mm] $P_3$ [/mm] bezeichnet wird. Zeigen Sie, dass die Abbildung $f : [mm] P_3 \mapsto \IR$
[/mm]
mit
$p(x) [mm] \mapsto \integral_{-1}^{1}{p(x) dx}$
[/mm]
linear ist. |
Hallo zusammen,
bin mir da unsicher, ob mein Beweis so in Ordung ist:
Beweis:
Seien $p, q [mm] \in P_3 \wedge \alpha, \beta \in \IR$
[/mm]
Es ist [mm] $f\left(\alpha*p(x)+\beta*q(x)\right) [/mm] = [mm] \alpha*f\left(p(x)\right) [/mm] + [mm] \beta*f\left(q(x)\right) [/mm] $
$= [mm] \alpha*\integral_{-1}^{1}{p(x) dx} [/mm] + [mm] \beta*\integral_{-1}^{1}{q(x) dx} [/mm] $
$= [mm] \integral_{-1}^{1}{\alpha*p(x) dx} [/mm] + [mm] \integral_{-1}^{1}{\beta*q(x) dx} [/mm] $
$= [mm] \integral_{-1}^{1}{\alpha*p(x) + \beta*q(x) dx} [/mm] $
[mm] $\Rightarrow [/mm] f$ ist lineare Abbildung [mm] $~~\Box$
[/mm]
Das wäre zumindest das erste Mal, dass mir so was auf Anhieb gelingt.
Danke und viele Grüße
~ pawlow
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:55 Mo 09.02.2009 | | Autor: | fred97 |
> Die reellen Polynome vom Grad höchstens 3 in der
> Unbestimmten [mm]x[/mm] bilden einen
> Vektorraum über [mm]\IR[/mm], der mit [mm]P_3[/mm] bezeichnet wird. Zeigen
> Sie, dass die Abbildung [mm]f : P_3 \mapsto \IR[/mm]
> mit
> [mm]p(x) \mapsto \integral_{-1}^{1}{p(x) dx}[/mm]
> linear ist.
> Hallo zusammen,
>
> bin mir da unsicher, ob mein Beweis so in Ordung ist:
>
> Beweis:
>
> Seien [mm]p, q \in P_3 \wedge \alpha, \beta \in \IR[/mm]
>
> Es ist [mm]f\left(\alpha*p(x)+\beta*q(x)\right) = \alpha*f\left(p(x)\right) + \beta*f\left(q(x)\right)[/mm]
>
> [mm]= \alpha*\integral_{-1}^{1}{p(x) dx} + \beta*\integral_{-1}^{1}{q(x) dx}[/mm]
>
Was machst Du denn hier ?? Hier benutzt Du die Linearität, die sollst Du doch erst zeigen.
Du mußt es richtig herum aufschreiben:
[mm] f\left(\alpha*p(x)+\beta*q(x)\right) [/mm] $ = [mm] \integral_{-1}^{1}{(\alpha\cdot{}p(x) + \beta\cdot{}q(x))dx} [/mm] $ $ = [mm] \integral_{-1}^{1}{\alpha\cdot{}p(x) dx} [/mm] + [mm] \integral_{-1}^{1}{\beta\cdot{}q(x) dx} [/mm] $ $ = [mm] \alpha\cdot{}f\left(p(x)\right) [/mm] + [mm] \beta\cdot{}f\left(q(x)\right) [/mm] $
FRED
> [mm]= \integral_{-1}^{1}{\alpha*p(x) dx} + \integral_{-1}^{1}{\beta*q(x) dx}[/mm]
>
> [mm]= \integral_{-1}^{1}{\alpha*p(x) + \beta*q(x) dx}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow f[/mm] ist lineare Abbildung [mm]~~\Box[/mm]
>
> Das wäre zumindest das erste Mal, dass mir so was auf
> Anhieb gelingt.
>
> Danke und viele Grüße
> ~ pawlow
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:58 Mo 09.02.2009 | | Autor: | pawlow |
Vielen Dank für die schnelle Hilfe! Hätte mich auch gewundert.
~ pwlow
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