Beweis mit Abbildungen < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:37 Mo 12.11.2007 | | Autor: | JanJan |
| Aufgabe | Beweisen Sie folgende Abbildung:
[mm] f(A_{1} \cap A_{2}) \subseteq f(A_{1}) \cap f(A_{2})
[/mm]
Finden Sie außerdem ein Beispiel, wo keine Gleichheit, d.h. die strikte Inklusion [mm] f(A_{1} \cap A_{2}) \subset f(A_{1}) \cap f(A_{2}) [/mm] gilt.
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Hab mir das so gedacht:
[mm] f(A_{1} \cap A_{2}) \subseteq f(A_{1}) \cap f(A_{2})
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] y [mm] \in f(A_{1} \cap A_{2}) [/mm]
[mm] \gdw f^{-1}(y) \in (A_{1} \cap A_{2})
[/mm]
[mm] \Rightarrow f^{-1}(y) \in A_{1} \wedge f^{-1}(y) \in A_{2}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] y [mm] \in f(A_{1}) \wedge [/mm] y [mm] \in f(A_{2})
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] y [mm] \in (f(A_{1}) \cap f(A_{2}))
[/mm]
und zum Bonusteil:
Heißt es jetzt, dass Inklusion gelten soll, oder nicht?
PS: Ist strikte Inklusion = Gleichheit?
Vielen Dank schon mal ;)
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> Beweisen Sie folgende Abbildung:
> [mm]f(A_{1} \cap A_{2}) \subseteq f(A_{1}) \cap f(A_{2})[/mm]
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> Finden Sie außerdem ein Beispiel, wo keine Gleichheit, d.h.
> die strikte Inklusion [mm]f(A_{1} \cap A_{2}) \subset f(A_{1}) \cap f(A_{2})[/mm]
> gilt.
>
> Hab mir das so gedacht:
Hallo,
Du hast das schon recht gut gemacht.
Da Du nur die eine Richtung zeigen willst, würde cih überhaupt keine Äquvalenzpfeile setzen, sondern nur mit Folgepfeilen arbeiten, man schaltet damit eine überflüssige Fehlerquelle aus. (ich hab' aber keinen entdeckt.)
Meine Bedenken gelten einer anderen Sache: habt Ihr [mm] f^{-1}(y) [/mm] definiert? Also [mm] f^{-1} [/mm] von einem Element und nicht einer Menge? Das solltest Du unbedingt prüfen - normalerweise ist das in dme Stadium, in welchem man diese Aufgaben bearbeitet, nicht der Fall.
Das macht aber nichts. Statt z.B. [mm] f^{-1}(y)\in [/mm] A schreibst Du dann: es gibt ein [mm] x\in [/mm] A mit f(y)=a.
Zu zeigen
Beweis:
Es sei
> [mm]f(A_{1} \cap A_{2}) \subseteq f(A_{1}) \cap f(A_{2})[/mm]
> [mm]\gdw[/mm]
> y [mm]\in f(A_{1} \cap A_{2})[/mm]
> [mm]\gdw f^{-1}(y) \in (A_{1} \cap A_{2})[/mm]
> [mm]\Rightarrow f^{-1}(y) \in A_{1} \wedge f^{-1}(y) \in A_{2}[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm] y [mm]\in f(A_{1}) \wedge[/mm] y [mm]\in f(A_{2})[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] y [mm]\in (f(A_{1}) \cap f(A_{2}))[/mm]
>
> und zum Bonusteil:
> Heißt es jetzt, dass Inklusion gelten soll, oder nicht?
> PS: Ist strikte Inklusion = Gleichheit?
Du sollst ein Beispiel dafür bringen, daß [mm] f(A_{1} \cap A_{2}) [/mm] nicht dasselbe ist wie [mm] f(A_{1}) \cap f(A_{2}), [/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:06 Mi 14.11.2007 | | Autor: | JanJan |
Neuer Beweisversuch:
Habe mir deine Worte zu Herzen genommen und mal versucht das Problem anders anzugehen:
Sei y [mm] \in (A_{1} \cap A_{2})
[/mm]
[mm] \Rightarrow \exists [/mm] a: a [mm] \in (A_{1} \cap A_{2}) \wedge [/mm] y = f(a)
[mm] \Rightarrow \exists [/mm] a: a [mm] \in A_{1} \wedge [/mm] y = f(a) [mm] \wedge [/mm] a [mm] \in A_{2} \wedge [/mm] y = f(a)
[mm] \Rightarrow [/mm] y [mm] \in f(A_{1}) \wedge [/mm] y [mm] \in f(A_{2})
[/mm]
[mm] \Box
[/mm]
guter Beweis?
Sieht ja erstmal logisch aus, aber meiner Meinung nach hätten die einzelnen Schritte auch ruhig äquivalent sein können...
Aber dann würde ja gleichheit und nicht [mm] "\subseteq" [/mm] gelten, oder?
zu "finde eine Beispiel wo nur [mm] "f(A_{1} \cap A_{2}) \subset f(A_{1}) \cap f(A_{2})"" [/mm] gilt:
Da gehen mir langsam die Ideen aus....
Habe mir die Funktion f(x)=x (bijektiv) skizziert und festgestellt, dass es für die wohl überall gelten muss [mm] (\subseteq); [/mm] habe dann sin(x) (weder surjektiv noch injektiv) probiert und festgestellt, dass es dort auch überall gelten muss [mm] (\subseteq) [/mm] finde aber einfach kein beispiel, wo nur [mm] "\subset" [/mm] gilt.
Kann mir vllt jemand helfen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:41 Mi 14.11.2007 | | Autor: | JanJan |
Hab die strikte Inklusion bewiesen, über [mm] $f(x)=x^{2}$ [/mm] mit [mm] A_{1}=[-3;2] [/mm] und [mm] A_{2}=[-1;7] [/mm] und dabei ausgenutzt, dass einem y verschiedene x zugewiesen werden.
(Obwohl ich diesen Trick dann erst im Nachhinein verstanden habe ;)
Habe jetzt aber ernste Zweifel, ob der Richtigkeit des obigen Beweises :/
Es würde mich freuen, wenn sich jemand den nochmal anschauen könnte :)
(dann kann ich heut nacht auch ruhig schlafen :P)
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Hallo JanJan,
> Neuer Beweisversuch:
>
> Habe mir deine Worte zu Herzen genommen und mal versucht
> das Problem anders anzugehen:
>
> Sei y [mm]\in \red{f}(A_{1} \cap A_{2})[/mm]
>
> [mm] \Rightarrow \exists [/mm] a: a [mm] \in (A_{1} \cap A_{2}) \wedge [/mm] y = f(a)
> [mm] \Rightarrow \exists [/mm] a: a [mm] \in A_{1} \wedge [/mm] y = f(a) [mm] \wedge a\in A_{2} \wedge [/mm] y = f(a)
> [mm] \Rightarrow y\in f(A_{1}) \wedge [/mm] y [mm] \in f(A_{2})
[/mm]
[mm] \red{\Rightarrow y\in f(A_1)\cap f(A_2)}
[/mm]
> [mm]\Box[/mm]
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> guter Beweis? ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
schaut schon sehr gut aus, du hattest nur oben vergessen, f mit aufzuschreiben
Und am Schluss würde ich der Vollständigkeit halber noch [mm] \Rightarrow y\in f(A_1)\cap f(A_2) [/mm] hinschreiben, denn das ist ja genau die rechte Seite der zu zeigenden Inklusion
LG
schachuzipus
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