Beweis mit Anordnungsaxiomen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:51 So 24.10.2010 | | Autor: | Lysin |
| Aufgabe | Es sei K ein angeordneter Körper. Es sei [mm] \varepsilon [/mm] >0 und 0<b<1. Zeigen Sie, dass ein n [mm] \in \IN [/mm] existiert, so dass
[mm] b^n [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] |
Hallo zusammen,
ich sitze jetzt schon seit geraumer Zeit an dieser doch sehr knappen Aufgabe, aber komme leider nicht dahinter.
Ich habe jetzt mal so angefangen:
[mm] b^n \le [/mm] 1 [mm] \le [/mm] 1+n*x
In der Vorlesung haben wir einen ähnlichen Beweis gemacht und sind mithilfe der Bernoulli-Ungleichung schließlich ans Ziel gekommen.
Kann man das hier auch machen? Wenn ja dann weiß ich nicht wie ich an der Stelle weiterkomme, weil nach dem archimedischen Axiom die Abschätzung nicht klappt, da das Ungleichungszeichen nicht passt.
Über eine Antwort würde ich mich sehr freuen!
Grüße
Lysin
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:08 Mo 25.10.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Es sei K ein angeordneter Körper. Es sei [mm]\varepsilon[/mm] >0
> und 0<b<1. Zeigen Sie, dass ein n [mm]\in \IN[/mm] existiert, so
> dass
>
> [mm]b^n[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm]
> Hallo zusammen,
>
> ich sitze jetzt schon seit geraumer Zeit an dieser doch
> sehr knappen Aufgabe, aber komme leider nicht dahinter.
>
> Ich habe jetzt mal so angefangen:
>
> [mm]b^n \le[/mm] 1 [mm]\le[/mm] 1+n*x
Das bringt dir nichts.
> In der Vorlesung haben wir einen ähnlichen Beweis gemacht
> und sind mithilfe der Bernoulli-Ungleichung schließlich
> ans Ziel gekommen.
Du kannst so vorgehen:
a) Zeige zuerst: ist $c > 1$ und [mm] $\delta [/mm] > 0$, so gibt es ein $n [mm] \in \IN$ [/mm] mit [mm] $c^n [/mm] > [mm] \delta$.
[/mm]
Das kannst du mit Bernoulli zeigen.
Dann zeige:
b) Du kannst $c$ und [mm] $\delta$ [/mm] (in Abhaengigkeit von $b$ und [mm] $\varepsilon$) [/mm] so waehlen, dass das $n$ aus a) auch [mm] $b^n [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm] erfuellt.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:48 Mo 25.10.2010 | | Autor: | Lysin |
Hallo Felix,
danke für deine schnelle Antwort.
Also nach deinem Tipp bin ich so fortgefahren:
Wähle zunächst x=c-1
[mm] \Rightarrow c^n=(1+x)^n \ge [/mm] 1+n*x (Bernoulli-Ungleichung)
Nach dem archimedischen Axiom exist. ein n0 und es gilt:
n0*x > c
[mm] \Rightarrow c^n [/mm] = [mm] (1+x)^n \ge [/mm] 1+n*x > 1+n0*x [mm] \ge n0*x>\delta
[/mm]
> b) Du kannst [mm]c[/mm] und [mm]\delta[/mm] (in Abhaengigkeit von [mm]b[/mm] und
> [mm]\varepsilon[/mm]) so waehlen, dass das [mm]n[/mm] aus a) auch [mm]b^n < \varepsilon[/mm]
> erfuellt.
>
> LG Felix
>
An diesem Punkt komme ich nicht so richtig weiter:
Meinst du, dass man das mit dem Satz: a<b [mm] \Rightarrow [/mm] 1/b<1/a abschätzen kann?
Dann wäre:
[mm] 1/(c^n) [/mm] = [mm] (1/c)^n [/mm] < [mm] 1/\delta
[/mm]
Setze dann c= 1/b und [mm] \delta [/mm] = [mm] 1/\varepsilon
[/mm]
Dann hätte man:
[mm] b^n<\varepsilon
[/mm]
Kann man das so machen??
Über eine Antwort würde ich mich sehr freuen.
Grüße
Lysin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:55 Mo 25.10.2010 | | Autor: | felixf |
Moin Lysin!
> danke für deine schnelle Antwort.
>
> Also nach deinem Tipp bin ich so fortgefahren:
>
> Wähle zunächst x=c-1
> [mm]\Rightarrow c^n=(1+x)^n \ge[/mm] 1+n*x
> (Bernoulli-Ungleichung)
>
> Nach dem archimedischen Axiom exist. ein n0 und es gilt:
>
> n0*x > c
Du meinst [mm] $n_0 \cdot [/mm] x > [mm] \delta$, [/mm] oder?
> [mm]\Rightarrow c^n[/mm] = [mm](1+x)^n \ge[/mm] 1+n*x > 1+n0*x [mm]\ge n0*x>\delta[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> > b) Du kannst [mm]c[/mm] und [mm]\delta[/mm] (in Abhaengigkeit von [mm]b[/mm] und
> > [mm]\varepsilon[/mm]) so waehlen, dass das [mm]n[/mm] aus a) auch [mm]b^n < \varepsilon[/mm]
> > erfuellt.
>
> An diesem Punkt komme ich nicht so richtig weiter:
>
> Meinst du, dass man das mit dem Satz: a<b [mm]\Rightarrow[/mm]
> 1/b<1/a abschätzen kann?
Ja.
> Dann wäre:
>
> [mm]1/(c^n)[/mm] = [mm](1/c)^n[/mm] < [mm]1/\delta[/mm]
Das ist zu zeigen, ja.
> Setze dann c= 1/b und [mm]\delta[/mm] = [mm]1/\varepsilon[/mm]
>
> Dann hätte man:
>
> [mm]b^n<\varepsilon[/mm]
> Kann man das so machen??
Ja.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:22 Mo 25.10.2010 | | Autor: | mathfunnel |
Hallo Felix,
K ist nach Voraussetzung ein angeordneter Körper. In diesem muss das archimedische Axiom nicht unbedingt gelten. Lysin scheint es aber zu nutzen?
LG mathfunnel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:43 Mo 25.10.2010 | | Autor: | felixf |
Moin mathfunnel!
> K ist nach Voraussetzung ein angeordneter Körper. In
> diesem muss das archimedische Axiom nicht unbedingt gelten.
> Lysin scheint es aber zu nutzen?
Nun, wenn man "angeordneter Koerper" so definiert wie du oder ich das tun wuerde, dann ist die Aussage falsch und nicht beweisbar.
Allerdings: bei Lysin scheint das archimedische Axiom mit in der Definition vorhanden zu sein, da er/sie von "aehnlichen Beweis in der Vorlesung" und "Bernoullischen Ungleichung" spricht.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:11 Di 26.10.2010 | | Autor: | Lysin |
Hallo Felix, hallo Mathfunnel,
Also wir haben [mm] c^n>\delta [/mm] in der Vorlesung schon bewiesen. Und hier verwendet ich es dann einfach. Also der Beweis [mm] c^n> \delta [/mm] gehört nicht mehr zu dieser Aufgabe- den setze ich einfach voraus. Dann ist das doch ok oder?
Grüße
Lysin
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Di 26.10.2010 | | Autor: | felixf |
Moin Lysin.
> Also wir haben [mm]c^n>\delta[/mm] in der Vorlesung schon bewiesen.
> Und hier verwendet ich es dann einfach. Also der Beweis
> [mm]c^n> \delta[/mm] gehört nicht mehr zu dieser Aufgabe- den setze
> ich einfach voraus. Dann ist das doch ok oder?
dann wird es wohl bei euch ok sein.
LG Felix
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