Beweis mit BLS < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:04 Mi 28.04.2010 | | Autor: | lubalu |
| Aufgabe | | Zu zeigen ist, dass [mm] a_n=(1+ \bruch{1}{n})^n [/mm] für jedes [mm] n\ge1 [/mm] nach dem Monotoniekriterium konvergiert. |
Dazu muss ich zeigen, dass [mm] a_n [/mm] monoton wachsend ist.
Meine 1. Frage: Wieso wird hier der Quotient [mm] \bruch{a_n}{a_{n-1}} [/mm] betrachtet und nicht wie üblich [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_n}?
[/mm]
Bei der Beschränktheit muss ich zeigen, dass [mm] 2
[mm] a_n>2 [/mm] ist mir klar mit dem binomischen Lehrsatz.
Beim Beweis zu [mm] a_n<3 [/mm] wird auch wieder der BLS angewendet und zwar folgendermaßen:
(1+ [mm] \bruch{1}{n})^n=
[/mm]
[mm] \summe_{k=0}^{n}[/mm] [mm] {n \choose k} [/mm] [mm] 1^{n-k} (\bruch{1}{n})^k [/mm] =
[mm] 1+\summe_{k=1}^{n}[/mm] [mm] {n \choose k} [/mm] [mm] (\bruch{1}{n})^k=
[/mm]
[mm] 1+\summe_{k=1}^{n} \bruch{n!}{k!(n-k)!} \bruch{1}{n^k}=
[/mm]
[mm] 1+\summe_{k=1}^{n} \bruch{n(n-1)...(n-(k-1))}{n^k} \bruch{1}{k!}=...
[/mm]
Es geht natürlich noch weiter, aber hier verstehe ich den letzten Schritt nicht, wenn ! irgendwie weggekürzt wird.
Noch was allgemeines: Was muss ich beim Monotoniekriterium zeigen? Dass [mm] a_n [/mm] monoton (fallend ODER wachsend) und beschränkt (nach oben UND unten) ist?
Wie kann man das Monotoniekriterium anschaulich beschreiben?
Das sind jetzt etwas viele Fragen auf einmal, aber hoffentlich gibts auch ein paar Antworten dazu?!
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Hallo Marina,
> Zu zeigen ist, dass [mm]a_n=(1+ \bruch{1}{n})^n[/mm] für jedes
> [mm]n\ge1[/mm] nach dem Monotoniekriterium konvergiert.
> Dazu muss ich zeigen, dass [mm]a_n[/mm] monoton wachsend ist.
>
> Meine 1. Frage: Wieso wird hier der Quotient
> [mm]\bruch{a_n}{a_{n-1}}[/mm] betrachtet und nicht wie üblich
> [mm]\bruch{a_{n+1}}{a_n}?[/mm]
Das ist doch herzlich egal. Beides sollte zum Ziel führen.
Probiere doch mal die zweite Variante aus ...
>
> Bei der Beschränktheit muss ich zeigen, dass [mm]2
>
> [mm]a_n>2[/mm] ist mir klar mit dem binomischen Lehrsatz.
>
> Beim Beweis zu [mm]a_n<3[/mm] wird auch wieder der BLS angewendet
> und zwar folgendermaßen:
> (1+ [mm]\bruch{1}{n})^n=[/mm]
> [mm]\summe_{k=0}^{n}[/mm] [mm]{n \choose k}[/mm] [mm]1^{n-k} (\bruch{1}{n})^k[/mm]
> =
> [mm]1+\summe_{k=1}^{n}[/mm] [mm]{n \choose k}[/mm] [mm](\bruch{1}{n})^k=[/mm]
> [mm]1+\summe_{k=1}^{n} \bruch{n!}{k!(n-k)!} \bruch{1}{n^k}=[/mm]
>
> [mm]1+\summe_{k=1}^{n} \bruch{n(n-1)...(n-(k-1))}{n^k} \bruch{1}{k!}=...[/mm]
>
> Es geht natürlich noch weiter, aber hier verstehe ich den
> letzten Schritt nicht, wenn ! irgendwie weggekürzt wird.
Im Zähler stand $n!$
Das ist [mm] $=n\cdot{}(n-1)\cdot{}\ldots(n-k+1)\cdot{}\underbrace{\red{(n-k)\cdot{}(n-k-1)\cdot{}\ldots\cdot{}2\cdot{}1}}_{=(n-k)!}$
[/mm]
Also lässt sich der rote hintere Teil schön gegen das $(n-k)!$ im Nenner wegballern.
> Noch was allgemeines: Was muss ich beim Monotoniekriterium
> zeigen? Dass [mm]a_n[/mm] monoton (fallend ODER wachsend) und
> beschränkt (nach oben UND unten) ist?
Wenn eine Folge monoton steigend und nach oben beschränkt ist, ist sie konvergent.
Wenn eine Folge monoton fallend und nach unten beschränkt ist, ist sie konvergent.
> Wie kann man das Monotoniekriterium anschaulich
> beschreiben?
Naja, nimm den ersten Fall.
Du hast eine obere Schranke für die Folgenglieder, die kannst du dir als Parallele zur x-Achse vorstellen.
Nun ist die Folge monoton steigend, mit wachsendem n wachsen auch die Folgenglieder [mm] $a_n$, [/mm] bleiben aber unterhalb der Schranke, also unterhalb der Parallelen eingepfercht.
(Jede größere obere Schranke tut es natürlich genauso gut ...)
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> Das sind jetzt etwas viele Fragen auf einmal, aber
> hoffentlich gibts auch ein paar Antworten dazu?!
>
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:29 Mi 28.04.2010 | | Autor: | lubalu |
Erstmal Danke für die schnelle Antwort.
> Hallo Marina,
>
> > Zu zeigen ist, dass [mm]a_n=(1+ \bruch{1}{n})^n[/mm] für jedes
> > [mm]n\ge1[/mm] nach dem Monotoniekriterium konvergiert.
> > Dazu muss ich zeigen, dass [mm]a_n[/mm] monoton wachsend ist.
> >
> > Meine 1. Frage: Wieso wird hier der Quotient
> > [mm]\bruch{a_n}{a_{n-1}}[/mm] betrachtet und nicht wie üblich
> > [mm]\bruch{a_{n+1}}{a_n}?[/mm]
>
> Das ist doch herzlich egal. Beides sollte zum Ziel
> führen.
Ja,das hab ich mir schon gedacht, dass das eigentlich egal sein müsste. Wahrscheinlich kann man irgendwie was schneller wegkürzen oder so. Hab die [mm] a_{n+1}/a_n [/mm] noch nicht durchgerechnet.
>
> Probiere doch mal die zweite Variante aus ...
>
> >
> > Bei der Beschränktheit muss ich zeigen, dass [mm]2
> >
> > [mm]a_n>2[/mm] ist mir klar mit dem binomischen Lehrsatz.
> >
> > Beim Beweis zu [mm]a_n<3[/mm] wird auch wieder der BLS angewendet
> > und zwar folgendermaßen:
> > (1+ [mm]\bruch{1}{n})^n=[/mm]
> > [mm]\summe_{k=0}^{n}[/mm] [mm]{n \choose k}[/mm] [mm]1^{n-k} (\bruch{1}{n})^k[/mm]
> > =
> > [mm]1+\summe_{k=1}^{n}[/mm] [mm]{n \choose k}[/mm] [mm](\bruch{1}{n})^k=[/mm]
> > [mm]1+\summe_{k=1}^{n} \bruch{n!}{k!(n-k)!} \bruch{1}{n^k}=[/mm]
>
> >
> > [mm]1+\summe_{k=1}^{n} \bruch{n(n-1)...(n-(k-1))}{n^k} \bruch{1}{k!}=...[/mm]
>
> >
> > Es geht natürlich noch weiter, aber hier verstehe ich den
> > letzten Schritt nicht, wenn ! irgendwie weggekürzt wird.
>
>
> Im Zähler stand [mm]n![/mm]
>
> Das ist
> [mm]=n\cdot{}(n-1)\cdot{}\ldots(n-k+1)\cdot{}\underbrace{\red{(n-k)\cdot{}(n-k-1)\cdot{}\ldots\cdot{}2\cdot{}1}}_{=(n-k)!}[/mm]
>
> Also lässt sich der rote hintere Teil schön gegen das
> [mm](n-k)![/mm] im Nenner wegballern.
Müsste im Nenner aber dann nicht n(n+1)...(n-k+1) stehen bleiben und nicht n(n+1)...(n-k-1)? Oder hab ich schon wieder was übersehen?
>
> > Noch was allgemeines: Was muss ich beim Monotoniekriterium
> > zeigen? Dass [mm]a_n[/mm] monoton (fallend ODER wachsend) und
> > beschränkt (nach oben UND unten) ist?
>
> Wenn eine Folge monoton steigend und nach oben beschränkt
> ist, ist sie konvergent.
Aber dann würde es ja bei meiner Aufgabe reichen, nur die Beschränkung nach oben zu zeigen, da meine Folge monoton wachsend ist?
>
> Wenn eine Folge monoton fallend und nach unten beschränkt
> ist, ist sie konvergent.
>
> > Wie kann man das Monotoniekriterium anschaulich
> > beschreiben?
>
> Naja, nimm den ersten Fall.
>
> Du hast eine obere Schranke für die Folgenglieder, die
> kannst du dir als Parallele zur x-Achse vorstellen.
>
> Nun ist die Folge monoton steigend, mit wachsendem n
> wachsen auch die Folgenglieder [mm]a_n[/mm], bleiben aber unterhalb
> der Schranke, also unterhalb der Parallelen eingepfercht.
>
> (Jede größere obere Schranke tut es natürlich genauso
> gut ...)
>
> >
> > Das sind jetzt etwas viele Fragen auf einmal, aber
> > hoffentlich gibts auch ein paar Antworten dazu?!
> >
>
>
> Gruß
>
> schachuzipus
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Hallo nochmal,
> Erstmal Danke für die schnelle Antwort.
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> Ja,das hab ich mir schon gedacht, dass das eigentlich egal
> sein müsste. Wahrscheinlich kann man irgendwie was
> schneller wegkürzen oder so. Hab die [mm]a_{n+1}/a_n[/mm] noch
> nicht durchgerechnet.
>
> >
> Aber dann würde es ja bei meiner Aufgabe reichen, nur die
> Beschränkung nach oben zu zeigen, da meine Folge monoton
> wachsend ist?
Ja, dann wüsstest du, dass sie konvergiert, aber nicht wogegen
> Müsste im Nenner aber dann nicht n(n+1)...(n-k+1) stehen bleiben und nicht n(n+1)...(n-k-1)? Oder hab ich schon wieder was übersehen?
Ja, für jedes natürliche x ist [mm] $x!=x\cdot{}(x-1)\cdot{}(x-2)\cdot{}\ldots\cdot{}3\cdot{}2\cdot{}1$
[/mm]
Es wird also von x bis 1 heruntermultipliziert und jeder Faktor ist um 1 kleiner als der Vorfaktor
Und im Nenner steht doch $(n-k)!$, also $x=n-k$
Damit also [mm] $(n-k)!=(n-k)\cdot{}(n-k-1)\cdot{}(n-k-2)\cdot{}\ldots\cdot{}3\cdot{}2\cdot{}1$
[/mm]
In der Lösung sind nur (Minus-)Klammern gesetzt, also wurde geschrieben
[mm] $(n-k)\cdot{}(n-\red{(}k+1\red{)})\cdot{}(n-\red{(}k+2\red{)})\cdot{}\ldots\cdot{}3\cdot{}2\cdot{}1
[/mm]
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:01 Mi 28.04.2010 | | Autor: | lubalu |
Aber [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_n=e, [/mm] oder? Wieso zeige ich dann, dass [mm] a_n<3? [/mm] Weil 3 die nächst größere ganze Zahl nach e ist?
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hallo,
> Aber [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_n=e,[/mm] oder? Wieso zeige
> ich dann, dass [mm]a_n<3?[/mm] Weil 3 die nächst größere ganze
> Zahl nach e ist?
nein, du könntest es auch gegen 2.8 abschätzen, das ist wurst, allerdings ist drei schön, da man das mit der geometrischen Reihe zeigen kannst. Denn [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{n!} \le 1+\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{2^n}
[/mm]
lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:39 Mi 28.04.2010 | | Autor: | lubalu |
Habs grad selber gesehen: Klammer bei mir ausmultiplizieren ergibt eh (n-k+1). Das hab ich dann verstanden!
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