Beweis mit Eigenwert/-raum < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:41 Mo 16.06.2008 | | Autor: | DerGraf |
| Aufgabe | Sei V ein endlichdimensionaler K-Vektorraum, A,B [mm] \in [/mm] Hom(V,V).
Zeige: [mm] \sigma(AB)=\sigma(BA).
[/mm]
Hinweis: Ist W ein Eigenraum zu einem Eigenwert von AB, so betrachte BW). |
Was kann ich denn über beliebige Matrizen A und B für Aussagen über ihre Eigenwerte und Eigenräume treffen?
Also ich weiß, dass AB diagonalisierbar ist (und somit auch kommutativ), wenn [mm] V=\sum_{i=1}^{m} V(a_i)(,es [/mm] ist hierbei die direkte Summe gemeint,) ist.
Mit dem Hinweis kann ich leider auch nicht sehr viel anfangen, da ich bei beliebigen Matrizen doch gar keine Eigenwerte ermitteln kann.
Kann mir vielleicht einer weiterhelfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:18 Di 17.06.2008 | | Autor: | fred97 |
Es genügt, zu zeigen:
Ist t ein Eigenwert von AB, so ist t ein Eigenwert von BA.
Sei also t ein Eigenwert von AB.
Fall 1: t=0. Dann ist det(AB) = 0. Wegen det(BA) = det(AB) folgt det(BA) =0, also ist t=0 ein Eigenwert von BA.
Fall2: t ist ungleich Null. Es existiert ein x in V mit x ungleich Null und
ABx=tx. Setze nun y=Bx. Dann ist y ungleich Null, denn anderenfalls wäre dann tx=Ay=0, also t=0 oder x=0, was aber nicht der Fall ist. Also ist y von Null verschieden.
Nun gilt: BAy= BABx= B(AB)x =B(tx)= tBx= ty. Also ist t Eigenwert von BA.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:32 Di 17.06.2008 | | Autor: | DerGraf |
Danke für deine schnelle Hilfe.
Aber woher weiß ich eigentlich, dass diese Eigenwerte überhaupt exisitieren? Kann ich einfach davon ausgehen?
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> Danke für deine schnelle Hilfe.
> Aber woher weiß ich eigentlich, dass diese Eigenwerte
> überhaupt exisitieren? Kann ich einfach davon ausgehen?
Hallo,
in der Aufgabe zeigen sollst Du: wenn AB und BA Eigenwerte haben, sind sie gleich.
Davon, daß Du zeigen sollst, daß AB einen Eigenwert hat, ist nicht die Rede. Das würde ja auch nicht klappen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:49 Di 17.06.2008 | | Autor: | DerGraf |
Gut, jetzt hab ich es geschnallt. Vielen Dank euch beiden :)
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