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Forum "Uni-Analysis-Induktion" - Beweis mit Produktzeichen
Beweis mit Produktzeichen < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Beweis mit Produktzeichen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:28 Sa 03.11.2007
Autor: cloui

Aufgabe
Zeige für alle n [mm] \in \IN [/mm] mit n [mm] \ge [/mm] 2:

[mm] \produkt_{k=1}^{n-1}(1+ \bruch{1}{k})^k [/mm] = [mm] \bruch{n^{n}}{n!} [/mm]

ich komme mit dieser aufgabe nicht weiter, hab bis jetzt:

[mm] \produkt_{k=1}^{n-1}(1+ \bruch{1}{k})^k [/mm] =
[mm] \produkt_{k=1}^{n-1} (1^{k} [/mm] + 2*1* [mm] \bruch{1}{k} [/mm] + [mm] (\bruch{1}{k})^{k} [/mm] =
[mm] 1^{1} [/mm] + [mm] \bruch{2}{1} [/mm] + [mm] 1^{1} [/mm]
= 4
aber das kann doch nicht stimmen

        
Bezug
Beweis mit Produktzeichen: richtig einsetzen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:32 Sa 03.11.2007
Autor: Loddar

Hallo cloui!


Du musst für den Induktionsanfang den Wert $n \ = \ 2$ einsetzen:

[mm] $$\produkt_{k=1}^{2-1}\left(1+ \bruch{1}{k}\right)^k [/mm] \ = \ [mm] \produkt_{k=1}^{1}\left(1+ \bruch{1}{k}\right)^k [/mm] \ = \ [mm] \left(1+ \bruch{1}{1}\right)^1 [/mm] \ = \ [mm] (1+1)^1 [/mm] \ = \ 2$$
[mm] $$\bruch{2^{2}}{2!} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{4}{2} [/mm] \ = \ 2$$

Gruß
Loddar


Bezug
                
Bezug
Beweis mit Produktzeichen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:14 Sa 03.11.2007
Autor: cloui

upps ich depp, hab gar nicht das n [mm] \ge [/mm] 2 beachtet :)
jetzt ist mir alles klar, danke

Bezug
        
Bezug
Beweis mit Produktzeichen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:32 So 04.11.2007
Autor: LoBi83

Hab die selbe Aufgabe und komm irgendwie nicht beim Induktionsschritt weiter.

Hab bisher :
n+1

$ [mm] \produkt_{k=1}^{n}(1+ \bruch{1}{k})^k [/mm] $ = [mm] \bruch{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!} [/mm]

[mm] =\bruch{(n+1)^{n}}{n!} [/mm]

[mm] =\bruch{n^{n}}{n!} [/mm] * [mm] 1^{n} [/mm]

=$ [mm] \produkt_{k=1}^{n-1}(1+ \bruch{1}{k})^k [/mm] $ * [mm] 1^{n} [/mm] (I.V. einsetzen)

Ab hier komm ich nicht weiter, kann man das überhaupt so machen
?


Bezug
                
Bezug
Beweis mit Produktzeichen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:59 So 04.11.2007
Autor: schachuzipus

Hallo LoBi,


> Hab die selbe Aufgabe und komm irgendwie nicht beim
> Induktionsschritt weiter.
>
> Hab bisher :
>  n+1
>  
> [mm]\produkt_{k=1}^{n}(1+ \bruch{1}{k})^k[/mm] =
> [mm]\bruch{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!}[/mm]

das ist zu zeigen

>  
> [mm]=\bruch{(n+1)^{n}}{n!}[/mm]
>  
> [mm]=\bruch{n^{n}}{n!}[/mm] * [mm]1^{n}[/mm]
>  
> =[mm] \produkt_{k=1}^{n-1}(1+ \bruch{1}{k})^k[/mm] * [mm]1^{n}[/mm] (I.V.
> einsetzen)
>  
> Ab hier komm ich nicht weiter, kann man das überhaupt so
> machen
> ?

Im Induktionsschritt [mm] $n-1\to [/mm] n$ ist also zz, dass unter der Induktionsvoraussetzung: [mm] $\produkt_{k=1}^{n-1}(1+ \bruch{1}{k})^k=\bruch{n^n}{n!}$ [/mm] gefälligst auch

[mm] $\produkt_{k=1}^{n}(1+ \bruch{1}{k})^k=\bruch{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!}$ [/mm] gilt

Also [mm] $\produkt_{k=1}^{n}(1+ \bruch{1}{k})^k=\left(\produkt_{k=1}^{n-1}(1+ \bruch{1}{k})^k\right)\cdot{}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$ [/mm]

[mm] $=\frac{n^n}{n!}\cdot{}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$ [/mm] nach Induktionsvoraussetzung

[mm] $=\frac{n^n}{n!}\cdot{}\left(\frac{n+1}{n}\right)^n=\frac{n^n\cdot{}(n+1)^n}{n!\cdot{}n^n}=\frac{(n+1)^n}{n!}$ [/mm]


Nun nur noch ein bisschen erweitern und du bist am Ziel


LG

schachuzipus

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Bezug
Beweis mit Produktzeichen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:44 So 04.11.2007
Autor: LoBi83

Besten Dank, nur was mir einfach nicht in den Kopf rein will ist diese Indexverschiebung?

Warum darf man denn hierbei das k durch n ersetzen

( 1+ [mm] \bruch{1}{n})^n [/mm]

Bezug
                                
Bezug
Beweis mit Produktzeichen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:58 So 04.11.2007
Autor: schachuzipus

Hi,

Das war keine Indexverschiebung, ich habe lediglich den letzten Faktor des Produktes [mm] $\prod\limits_{k=1}^n\left(1+\frac{1}{k}\right)^k$ [/mm] , also den für k=n, getrennt geschrieben

Es ist ja  [mm] $\prod\limits_{k=1}^n\left(1+\frac{1}{k}\right)^k=\left(1+\frac{1}{1}\right)^1\cdot{}\left(1+\frac{1}{2}\right)^2\cdot{}....\cdot{}\left(1+\frac{1}{n-1}\right)^{n-1}\cdot{}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=\red{\left(}\left(1+\frac{1}{1}\right)^1\cdot{}\left(1+\frac{1}{2}\right)^2\cdot{}....\cdot{}\left(1+\frac{1}{n-1}\right)^{n-1}\red{\right)}\cdot{}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}$ [/mm]

[mm] $=\left(\prod\limits_{k=1}^{n-1}\left(1+\frac{1}{k}\right)^{k}\right)\cdot{}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$ [/mm]


OK?


Gruß

schachuzipus

Bezug
                                        
Bezug
Beweis mit Produktzeichen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:23 So 04.11.2007
Autor: LoBi83

Jo jetzt hat's klick gemacht.
Jetzt weiss ich auch wo mein Denkfehler war, in meinem Kopf war n quasi die Laufvariabel.

Danke dir vielmals für deine Mühe



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