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Forum "Uni-Analysis-Induktion" - Beweis mit vollst. Induktion
Beweis mit vollst. Induktion < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Beweis mit vollst. Induktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:01 Do 20.09.2012
Autor: franzzink

Aufgabe
Es ist mittels vollständiger Induktion für n [mm] \in \IN [/mm] zu zeigen:

$ [mm] \summe_{k=0}^{n} a^k b^{n-k} [/mm] = [mm] \bruch{a^{n+1}-b^{n+1}}{a-b} [/mm] $, falls $ a [mm] \not= [/mm] b $.

Hallo,

ich habe sehr wenig Erfahrung und Übung mit Induktionsbeweisen, deshalb bitte ich jemanden mein Vorgehen zu überprüfen:

Induktionsanfang für n = 1:

linke Seite:   $ [mm] \summe_{k=0}^{n=1} a^k b^{n-k} [/mm] = [mm] a^0 b^1 [/mm] + [mm] a^1 b^0 [/mm] = b + a $

rechte Seite:   $ [mm] \bruch{a^{2}-b^{2}}{a-b} [/mm] = a + b $


Induktionsschluss von n auf (n+1):

rechte Seite:   $ [mm] \bruch{a^{n+2}-b^{n+2}}{a-b} [/mm] $

Eine Polynomdivision $ [mm] (a^{n+2}-b^{n+2}) [/mm] / (a-b) $ liefert:

$ [mm] (a^{n+2}-b^{n+2}) [/mm] / (a-b) = [mm] a^{n+1} [/mm] b + [mm] a^n [/mm] b + [mm] a^{n-1} b^{2} [/mm] + ... + [mm] a^2 b^{n-1} [/mm] + a [mm] b^{n} [/mm] + [mm] b^{n+1} [/mm] $

$ = [mm] \summe_{k=0}^{n+1} a^k b^{(n+1)-k} [/mm] $   (= linke Seite für n+1)


Kann ich das so machen? Bin ich damit fertig?

Mich stört insbesondere, dass ich quasi eine "unvollständige" Polynomdivision ausführe: Ich "sehe" das Ergebnis, aber da ja n in den Exponenten auftaucht, führe ich die Polynomdivison nicht "formal sauber" zu Ende...

Gibt es vielleicht eine elegantere Vorgehensweise?

Vielen Dank & schöne Grüße
franzzink

        
Bezug
Beweis mit vollst. Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:10 Do 20.09.2012
Autor: fred97


> Es ist mittels vollständiger Induktion für n [mm]\in \IN[/mm] zu
> zeigen:
>  
> [mm]\summe_{k=0}^{n} a^k b^{n-k} = \bruch{a^{n+1}-b^{n+1}}{a-b} [/mm],
> falls [mm]a \not= b [/mm].
>  Hallo,
>  
> ich habe sehr wenig Erfahrung und Übung mit
> Induktionsbeweisen, deshalb bitte ich jemanden mein
> Vorgehen zu überprüfen:
>  
> Induktionsanfang für n = 1:
>  
> linke Seite:   [mm]\summe_{k=0}^{n=1} a^k b^{n-k} = a^0 b^1 + a^1 b^0 = b + a[/mm]
>  
> rechte Seite:   [mm]\bruch{a^{2}-b^{2}}{a-b} = a + b[/mm]
>  
>
> Induktionsschluss von n auf (n+1):
>  
> rechte Seite:   [mm]\bruch{a^{n+2}-b^{n+2}}{a-b}[/mm]
>  
> Eine Polynomdivision [mm](a^{n+2}-b^{n+2}) / (a-b)[/mm] liefert:
>  
> [mm](a^{n+2}-b^{n+2}) / (a-b) = a^{n+1} b + a^n b + a^{n-1} b^{2} + ... + a^2 b^{n-1} + a b^{n} + b^{n+1}[/mm]

Wenn Du das so machst, warum schreibst Du dann nicht gleich:

" Eine Polynondivision [mm] $\bruch{a^{n+1}-b^{n+1}}{a-b}$ [/mm] liefert [mm] $\bruch{a^{n+1}-b^{n+1}}{a-b}=\summe_{k=0}^{n} a^k b^{n-k} [/mm]   $"

????

>  
> [mm]= \summe_{k=0}^{n+1} a^k b^{(n+1)-k}[/mm]   (= linke Seite für
> n+1)
>  
>
> Kann ich das so machen? Bin ich damit fertig?

Nein. Das war kein Induktionsbeweis. Die Induktionsvor. hast Du weder formuliert, noch benutzt.

FRED

>  
> Mich stört insbesondere, dass ich quasi eine
> "unvollständige" Polynomdivision ausführe: Ich "sehe" das
> Ergebnis, aber da ja n in den Exponenten auftaucht, führe
> ich die Polynomdivison nicht "formal sauber" zu Ende...
>  
> Gibt es vielleicht eine elegantere Vorgehensweise?
>  
> Vielen Dank & schöne Grüße
>  franzzink


Bezug
                
Bezug
Beweis mit vollst. Induktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:58 Do 20.09.2012
Autor: franzzink

Hallo FRED,

vielen Dank für die Antwort.


> > Induktionsanfang für n = 1:
>  >  
> > linke Seite:   [mm]\summe_{k=0}^{n=1} a^k b^{n-k} = a^0 b^1 + a^1 b^0 = b + a[/mm]
>  
> > rechte Seite:   [mm]\bruch{a^{2}-b^{2}}{a-b} = a + b[/mm]


Stimmt denn wenigstens der Induktionsanfang oder begehe ich schon hier einen formalen Fehler?


> > Induktionsschluss von n auf (n+1):
>  >  
> > rechte Seite:   [mm]\bruch{a^{n+2}-b^{n+2}}{a-b}[/mm]
>  >  
> > Eine Polynomdivision [mm](a^{n+2}-b^{n+2}) / (a-b)[/mm] liefert:
>  >  
> > [mm](a^{n+2}-b^{n+2}) / (a-b) = a^{n+1} b + a^n b + a^{n-1} b^{2} + ... + a^2 b^{n-1} + a b^{n} + b^{n+1}[/mm]
>  
> Wenn Du das so machst, warum schreibst Du dann nicht
> gleich:
>  
> " Eine Polynondivision [mm]\bruch{a^{n+1}-b^{n+1}}{a-b}[/mm] liefert
> [mm]\bruch{a^{n+1}-b^{n+1}}{a-b}=\summe_{k=0}^{n} a^k b^{n-k} [/mm]"
>  
> ????


Diese Überlegung habe ich ernsthaft angestellt. Scheinbar zählt sie nicht als Beweis. Ok, mein Fehler.


> Nein. Das war kein Induktionsbeweis. Die Induktionsvor.
> hast Du weder formuliert, noch benutzt.


Induktionsvoraussetzung:

Man setzt die Gültigkeit von
$ [mm] \summe_{k=0}^{n} a^k b^{n-k} [/mm] = [mm] \bruch{a^{n+1}-b^{n+1}}{a-b} [/mm] $
für ein beliebiges n [mm] \ge [/mm] 1 voraus.


Induktionsschluss von n auf n+1:

Linke Seite der Ausgangsgleichung für n+1:

$ [mm] \summe_{k=0}^{n+1} a^k b^{(n+1)-k} [/mm] = b  [mm] (\summe_{k=0}^{n} a^k b^{n-k}) [/mm] + [mm] a^{n+1} [/mm] =  $

$  = b [mm] (\bruch{a^{n+1}-b^{n+1}}{a-b}) [/mm] + [mm] a^{n+1} [/mm] = [mm] \bruch{a^{n+1}b-b^{n+2}+a^{n+2}-a^{n+1}b}{a-b} [/mm]  = $

$ = [mm] \bruch{a^{n+2}-b^{n+2}}{a-b} [/mm] $ (= rechte Seite der Ausgangsgleichung für n+1)


Ist es so besser? Geht dies jetzt als ein Beweis durch?

Grüße
franzzink


Bezug
                        
Bezug
Beweis mit vollst. Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:18 Do 20.09.2012
Autor: leduart

Hallo
genau das ist ein richtihrt Induktionsbeweis, du hast die Ind. vors benutzt um auf die Bejauptung zu schließen.
Gruss leduart

Bezug
                                
Bezug
Beweis mit vollst. Induktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:21 Do 20.09.2012
Autor: franzzink

Danke.

Bezug
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