Beweis mittels Koerper-Axiomen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:52 Do 25.11.2004 | | Autor: | michael7 |
Hallo zusammen,
ich moechte mittels der Axiome fuer reelle Zahlen gerne beweisen, dass [mm]0\cdot a = 0[/mm]. Dazu habe ich folgendes gemacht:
[mm]
0\cdot a=0 \gdw 0\cdot a + 0\cdot a = 0\cdot a \gdw a\cdot(0+0) = 0\cdot a \Rightarrow a\cdot 0 = a\cdot 0
[/mm]
Da man im letzten Schritt eine Gleichheit herausbekommt, muss auch [mm]0\cdot a = 0[/mm] gelten.
Meine Fragen:
a) Kann man so argumentieren?
b) Darf man ueberhaupt [mm]\gdw[/mm] bzw. [mm]\Rightarrow[/mm] verwenden? (im Buch wird eigentlich immer nur [mm]=[/mm] verwendet)
Vielen Dank,
Michael
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Hallo Michael.
Daß 0*a=0 ist, kannst Du prinzipiell für jeden Körper beweisen, nicht nur für die reellen Zahlen. Ich kann dir auch zeigen wie. Das Problem an deinem Beweis ist, daß Du deine Aussage, die Du zeigen willst,auf eine wahre Aussage zurückführst. Das ist aber nur dann eine zulässige Schlußweise, solange man von der richtigen Aussage am Schluß auch wieder zu der Anfangssausage zurück kommt, d.h. daß Du dann in deinem Beweis überall Äquivalenzpfeile ([mm]\gdw[/mm]) setzen können mußt.
Denn aus falschen Aussagen können die richtigsten Ergebnisse folgen.
Denn z.B. folgt aus 1=0 und 2=3 ,was (in [mm]\IR[/mm] offensichtlich falsch ist, durch Addition 3=3, also eine wahre Aussage. Also ist bei sowas Vorsicht angebracht.
Wenn man aber in dem Beweis überall [mm]\gdw[/mm] stehen hat (und die Äquivalenz auch überall richtig ist), kann man den Beweis dann aber auch komplett andersherum aufschreiben, also mit der wahren Aussage anfangen. Das ist erstens viel eleganter und zweitens allgemein so üblich.
So. Jetzt noch der Beweis, daß 0a=0 in jedem Körper:
In jedem Körper gilt: 1a=a (das ist die wahre Aussage, mit der wir anfangen...
Da in K aber das Distibutivgesetz gilt, so ist
0=a-a=1a-1a
[mm]\gdw[/mm](1-1)a=0a = 0,
und das ist das was wir zeigen wollten.
Ich hoffe, ich hab dich nicht noch mehr verwirrt,
Gruß,
Christian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:54 Do 25.11.2004 | | Autor: | Philipp-ER |
Hi Christian.
Dein Beweis stimmt so aber nicht, bzw du verwendest einige Sachen, die nicht selbstverständlich sind und sich auch nur schwer zeigen lassen, wie zum Beispiel [mm] $(-1)\cdot [/mm] a=-a$, da es sowas wie das Distributivgesetz der Subtraktion nicht gibt.
@michael7:
Du musst lediglich den letzten Folgepfeil durch einen Äquivalenzpfeil ersetzen (wie du dir leicht klar machst, handelt es sich beim letzten Schritt auch wirklich um eine Äquivalenz) und damit ist dein Beweis dann absolut richtig.
Gelingt es dir nämlich, eine Aussage über Äquivalenzumformungen in eine wahre Aussage zu überführen, so ist das ein gültiger Beweis.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:35 Do 25.11.2004 | | Autor: | zwerg |
Tach @alll!
Hab aus Versehen das falsche Fenster geschlosssen deswegen das teilweise beantwortet.
ersteinmel die Existenz eines solchen Elementes zeigen
aus der Existenz der inversen Elemente ergibt sich doch eindeutig, was 0 ist
b+(-b)=0
[mm] \to
[/mm]
[mm] a0\underbrace{=}_{i}a(b+(-b))\underbrace{=}_{ii}ab+a(-b)\underbrace{=}_{iii}ab+(-b)a\underbrace{=}_{iv}ab+(-ba)\underbrace{=}_{iii}ab+(-ab)\underbrace{=}_{i}0 [/mm]
i) Existenz des inversen Elements bzgl. +
ii) Distributivgesetz
iii) Kommutativgesetz
iv) assoziativgesetz
nun könnte sich noch die Eindeutigkeit der Null zeigen lassen
a0*=0* und a0=0 und 0* [mm] \not=0
[/mm]
speziel für a=0 gilt:
0*=00*=0*0=0
MfG zwerg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:47 Do 25.11.2004 | | Autor: | Philipp-ER |
Und wie rechtfertigst du [mm] $(-b)\cdot a=-(b\cdot [/mm] a)$?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:41 Do 25.11.2004 | | Autor: | zwerg |
Moin Phillipp_ER!
zeigen wir das auch noch schnell:
ba+(-b)a=(b+(-b))a=0a
ups haste Recht
(i) [mm] x+b=a\gdw [/mm] x=a-b
[mm] \Leftarrow
[/mm]
(a-b)+b=a+(-b+b)=a+0=a
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] x+b=a\Rightarrow(x+b)-b=a-b\Rightarrow x+(b-b)=a-b\Rightarrow x+0=a-b\Rightarrow [/mm] x=a-b
0a=(0+0)a=0a+0a
wegen (i)
0a=0a-0a=0
jetz kann ich erst zeigen:
ba+(-b)a=(b+(-b))a=0a=0
also
-ba=(-b)a
jetz dürfte es stimmen
Mfg zwerg
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:56 Do 25.11.2004 | | Autor: | Philipp-ER |
Hi.
>0a=(0+0)a=0a+0a
>wegen (i)
>0a=0a-0a=0
Na also, das ist doch ein viel schönerer Beweis für die Aussage, um die es hier geht.
Dein 1. Vorschlag bringt nichts, da man für den Beweis von (-b)*a=-(b*a) ja bereits 0*a=0 braucht, wie du jetzt auch festgestellt hast. Und auf dem von Christian vorgeschlagenen Weg funktioniert es aus dem gleichen Grund nicht, denn auch für (-1)*a=-a braucht man 0*a=0, doch gerade das will man ja zeigen.
Gruß
Philipp
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:19 Fr 26.11.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo michael7,
ich schreibe dir vielleicht auch mal nur das hin, was man für den Beweis in einem Körper $K$ braucht:
Für jedes $a [mm] \in [/mm] K$ gilt:
$a=a$
[mm] $\underbrace{\Longrightarrow}_{Existenz\;des\;neutral.\;El.\;0_K\;bzgl.\;+}$ [/mm]
[mm] $0_K*a=0_K*a$ [/mm]
[mm] $\Rightarrow$ [/mm]
[mm] $\underbrace{(0_K+0_K)}_{=0_k}*a=0_K*a$
[/mm]
[mm] $\underbrace{\Longrightarrow}_{Distr.-Gesetz}$
[/mm]
[mm] $(\star)$ $0_K*a+0_K*a=0_K*a$.
[/mm]
Wegen [mm] $(0_K*a) \in [/mm] K$ existiert ein inverses Element bzgl. + zu [mm] $0_K*a$, [/mm] wir nennen es [mm] $-(0_K*a)$.
[/mm]
Aus [mm] $(\star)$ [/mm] folgt dann:
[m](0_K*a+0_K*a)+(-(0_K*a))=\underbrace{0_K*a+(-(0_K*a))}_{=0_K,\; da\;-(0_K*a)\;invers\;zu\;(0_K*a)\;bzgl.\;+}[/m]
[mm] $\underbrace{\Longrightarrow}_{Ass.-Gesetz\;bzgl.\;+}$
[/mm]
[m]0_K*a+\underbrace{\left(0_K*a+(-(0_K*a))\right)}_{=0_K,\; da\;-(0_K*a)\;invers\;zu\;(0_K*a)\;bzgl.\;+}=0_K[/m]
[mm] $\Rightarrow$
[/mm]
[mm] $0_K*a+0_K=0_K$
[/mm]
[mm] $\underbrace{\Longrightarrow}_{da\;0_K\;neutr.\;Element\;bzgl.\;+}$
[/mm]
[mm] $0_K*a=0_K$
[/mm]
Nun noch zu folgendem Symbol:
Sind $A$ und $B$ Aussagen, so heißt:
$A [mm] \gdw [/mm] B$ folgendes:
Aus der Gültigkeit der Aussage $A$ folgt die Gültigkeit der Aussage $B$ (in Symbolen: $A [mm] \Rightarrow [/mm] B$) und
aus der Gültigkeit der Aussage $B$ folgt die Gültigkeit der Aussage $A$ (in Symbolen $B [mm] \Rightarrow [/mm] A$, oder, etwas ungewohnt: $A [mm] \Leftarrow [/mm] B$).
Nur, damit du dir mal die Bedeutung des Äquivalenzpfeiles [mm] ($\gdw$) [/mm] klarmachst!
Und wie du siehst: Wenn man es für den Beweis nicht braucht (so wie hier), unterlasse ich es auch, [mm] $\gdw$-Zeichen [/mm] zu schreiben. Man sollte mit dem Zeichen sehr vorsichtig umgehen, und immer überprüfen, ob man tatsächlich die Folgerungen auch in beide Richtungen so machen darf! Ich setze lieber wenige davon, dann ist die Gefahr, einen Fehler zu begehen, geringer. 
Aber ansonsten: Ich habe ja nicht wirklich viel mehr gemacht als du, nur etwas mehr begründet!
Viele Grüße,
Marcel
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