Beweis part. Diff'barkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:37 Mo 16.09.2013 | | Autor: | Paivren |
Mahlzeit,
wirft mal wer einen Blick hierauf?
Zu zeigen: [mm] f(x)=||x||=\wurzel[2]{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+...x_{n}^{2}}
[/mm]
ist partiell differenzierbar in [mm] R^{n} [/mm] \ {0}
Bew:
Sei [mm] z:=x_{i} [/mm] mit i=1,...,n
Die Funktion z-->f(z): [mm] f(z)=\wurzel[2]{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+...+z^{2}+...x_{n}^{2}}
[/mm]
ist differenzierbar.
Also ist f(x) partiell differenzierbar, und die Ableitungen sind:
[mm] D_{i}f(x)= \bruch{x_{i}}{\wurzel[2]{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+...+x_{i}^{2}+...x_{n}^{2}}}
[/mm]
Für x=0 ist die Funktion demnach nicht part. diff'bar.
So okay?
Frag mich vor allem, ob ich anhand der Ableitung argumentieren kann, ob f in 0 part. diff'bar ist, oder nicht...
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:37 Mo 16.09.2013 | | Autor: | fred97 |
> Mahlzeit,
>
> wirft mal wer einen Blick hierauf?
>
> Zu zeigen:
> [mm]f(x)=||x||=\wurzel[2]{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+...x_{n}^{2}}[/mm]
> ist partiell differenzierbar in [mm]R^{n}[/mm] \ {0}
>
> Bew:
> Sei [mm]z:=x_{i}[/mm] mit i=1,...,n
> Die Funktion z-->f(z):
> [mm]f(z)=\wurzel[2]{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+...+z^{2}+...x_{n}^{2}}[/mm]
> ist differenzierbar.
Nenne diese Funktion nicht wieder f !!!
Besser:
[mm] g(z):=\wurzel[2]{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+...+z^{2}+...x_{n}^{2}}
[/mm]
> Also ist f(x) partiell differenzierbar, und die Ableitungen
> sind:
> [mm]D_{i}f(x)= \bruch{x_{i}}{\wurzel[2]{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+...+x_{i}^{2}+...x_{n}^{2}}}[/mm]
Ja, das ist die part. Ableitung von f nach [mm] x_i [/mm] in [mm] (x_1,...,x_n) \ne [/mm] (0,...,0)
>
> Für x=0 ist die Funktion demnach nicht part. diff'bar.
Das hast Du noch nicht gezeigt ! Zeige:
[mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(h,0,...0)-f(0,...,0)}{h} [/mm] ex. nicht.
Damit ist gezeigt, dass f in (0,...,0) nicht nach [mm] x_1 [/mm] part. diffbar ist.
Entsprechend zeigt man, dass f f in (0,...,0) nicht nach [mm] x_i [/mm] part. diffbar ist (i=2,..,n)
FRED
>
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> So okay?
> Frag mich vor allem, ob ich anhand der Ableitung
> argumentieren kann, ob f in 0 part. diff'bar ist, oder
> nicht...
>
> Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:55 Mo 16.09.2013 | | Autor: | Paivren |
Hallo Fred, danke für deine Antwort.
Krieg das irgendwie nicht hin.
[mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(h,0,...0)-f(0,...,0)}{h}
[/mm]
[mm] =\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{\wurzel[2]{(0+h)^{2}+0^{2}+...+0^{2}}-\wurzel[2]{(0)^{2}+0^{2}+...+0^{2}}}{h} [/mm]
[mm] =\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{h}{h} [/mm] =1 (doch diff'bar?)
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:00 Mo 16.09.2013 | | Autor: | Paivren |
Ah Moment, ich muss jetzt das gleiche mit negativem h machen und zeigen, dass die Grenzwerte nicht gleich sind.
[mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(-h,0,...0)-f(0,...,0)}{-h}
[/mm]
[mm] =\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{\wurzel[2]{(0-h)^{2}+0^{2}+...+0^{2}}-\wurzel[2]{(0)^{2}+0^{2}+...+0^{2}}}{-h}
[/mm]
[mm] =\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{h}{-h} [/mm] =-1
--> f ist in x=0 nicht part. diff'bar.
Nun noch eine Frage, wenn ich die part. Diff'barkeit zeige, muss ich dann den Grenzwert IMMER von beiden Seiten betrachten, also einmal f(x+h)-f(x) und einmal f(x-h)-x?
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:30 Di 17.09.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
sieh nach wie die "normale!" Differenzierbarkeit von f(x) definiert ist. und ja!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:51 Di 17.09.2013 | | Autor: | Paivren |
Hey Leduart, dir auch ein thx!
In den Definitionen steht oft nur, dass der Grenzwert "existieren" muss (http://de.wikipedia.org/wiki/Differentialrechnung#Definition), von Übereinstimmung der Grenzwerte von beiden Seiten lese ich dagegen nur selten.
Wenn ich weiß, dass meine Funktion stetig ist, reicht es dann nicht, mich nur von einer Seite anzunähern?
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:51 Di 17.09.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Paivren,
> Wenn ich weiß, dass meine Funktion stetig ist, reicht es
> dann nicht, mich nur von einer Seite anzunähern?
Nein. Betrachte etwa die Betragsfunktion
[mm] $h\colon\IR\to\IR,\quad x\mapsto|x|$.
[/mm]
Sie ist bekanntlich in $0$ nicht differenzierbar, obwohl rechtsseitiger und linksseitiger Grenzwert des Differenzenquotienten in $0$ existieren.
> In den Definitionen steht oft nur, dass der Grenzwert
> "existieren" muss
> (http://de.wikipedia.org/wiki/Differentialrechnung#Definition),
> von Übereinstimmung der Grenzwerte von beiden Seiten lese
> ich dagegen nur selten.
Sei [mm] $h\colon D\to\IR$ [/mm] für eine Teilmenge [mm] $D\subseteq\IR$. [/mm] Die Existenz von einem Grenzwert der Form
[mm] $\lim_{x\to \tilde{x}}\bruch{h(x)-h(\tilde{x})}{x-\tilde{x}}$
[/mm]
bedeutet nach Definition des Grenzwertes von Funktionen gerade:
1. Es gibt eine Folge [mm] $(x_n)_{n\in\IN}$ [/mm] mit [mm] $x_n\in D\setminus\{\tilde{x}\}$ [/mm] für alle [mm] $n\in\IN$ [/mm] und [mm] $\lim_{n\to\infty}x_n=\tilde{x}$.
[/mm]
2. Für alle solchen Folgen [mm] $(x_n)_{n\in\IN}$ [/mm] existiert
[mm] $\lim_{n\to\infty}\bruch{h(x_n)-h(\tilde{x})}{x_n-\tilde{x}}$.
[/mm]
3. Für alle solchen Folgen [mm] $(x_n)_{n\in\IN}$ [/mm] stimmt der Wert von
[mm] $\lim_{n\to\infty}\bruch{h(x_n)-h(\tilde{x})}{x_n-\tilde{x}}$
[/mm]
überein.
In diesem Fall wird der Wert von
[mm] $\lim_{n\to\infty}\bruch{h(x_n)-h(\tilde{x})}{x_n-\tilde{x}}$
[/mm]
für eine/alle solchen Folgen [mm] $(x_n)_{n\in\IN}$ [/mm] mit
[mm] $\lim_{x\to \tilde{x}}\bruch{h(x)-h(\tilde{x})}{x-\tilde{x}}$
[/mm]
bezeichnet.
Die Definition von Existenz und Wert vom linksseitigen (bzw. rechtsseitigen) Limes lautet genauso, abgesehen davon, dass nur Folgen [mm] $(x_n)_{n\in\IN}$ [/mm] zugelassen sind, die zusätzlich [mm] $x_n<\tilde{x}$ [/mm] (bzw. [mm] $x_n>\tilde{x}$) [/mm] erfüllen.
Falls es sowohl eine solche Folge [mm] $(x_n)_{n\in\IN}$ [/mm] mit [mm] $x_n<\tilde{x}$ [/mm] für alle [mm] $n\in\IN$, [/mm] als auch eine solche Folge [mm] $(x_n)_{n\in\IN}$ [/mm] mit [mm] $x_n>\tilde{x}$ [/mm] für alle [mm] $n\in\IN$ [/mm] gibt, existiert
[mm] $\lim_{x\to \tilde{x}}\bruch{h(x)-h(\tilde{x})}{x-\tilde{x}}$
[/mm]
genau dann, wenn die entsprechenden rechtsseitigen und linksseitigen Limites existieren und übereinstimmen.
Das kannst du ja mal zeigen, wenn du möchtest.
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:48 Di 17.09.2013 | | Autor: | Paivren |
Die Betragsfunktion ist natürlich ein gutes Beispiel,
danke auch an Dich Tobi, dann weiß ich bescheid.
Gruß
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