Beweis richtig? < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:07 Do 11.12.2008 | | Autor: | kawu |
| Aufgabe | Sei [mm]f: X \to Y[/mm] eine Abbildung. Zeigen Sie:
Ist [mm]M_1 \subset M_2 \subset X[/mm], so folgt [mm]f(M_1) \subset f(M_2)[/mm]
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[mm] $\{ x \in M_1: f(x) \in f(M_1) \} \subset \{ x \in M2: f(x) \in f(M_2) \}$.
[/mm]
Da ist zum ersten Mal so einen Beweis formuliere, würde ich gerne wissen, ob das formal korrekt ist und ob das überhaupt ausreicht.
lg, KaWu
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:12 Do 11.12.2008 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]f: X \to Y[/mm] eine Abbildung. Zeigen Sie:
>
> Ist [mm]M_1 \subset M_2 \subset X[/mm], so folgt [mm]f(M_1) \subset f(M_2)[/mm]
>
> [mm]\{ x \in M_1: f(x) \in f(M_1) \} \subset \{ x \in M2: f(x) \in f(M_2) \}[/mm].
>
Das ist völliger Unsinn !
Du mußt zeigen: jedes Element von [mm] f(M_1) [/mm] gehört auch zu [mm] f(M_2) [/mm]
Sei also y [mm] \in f(M_1). [/mm] Dann gibt es ein x [mm] \in M_1 [/mm] mit y = f(x).
Da x auch Element von [mm] M_2 [/mm] ist, folgt: y [mm] \in f(M_2)
[/mm]
FRED
> Da ist zum ersten Mal so einen Beweis formuliere, würde ich
> gerne wissen, ob das formal korrekt ist und ob das
> überhaupt ausreicht.
>
> lg, KaWu
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:48 Do 11.12.2008 | | Autor: | kawu |
| Aufgabe | | Ist [mm] $N_1 \subset N_2 \subset [/mm] Y$, so folgt [mm] $f^{-1}(N_1) \subset f^{-1}(N_2)$ [/mm] |
Hm verstehe. Und bei der inversen Abblidung [mm] $f^{-1}$ [/mm] ist es dann also folgendermaßen, oder? (siehe Aufgabe)
Für jedes $y [mm] \in N_1$ [/mm] gibt es ein $x = [mm] f^{-1}(y) \in f^{-1}(N_1)$. [/mm] Da [mm] $N_1$ [/mm] eine Teilmende von [mm] $N_2$ [/mm] ist, also jedes x auch $x [mm] \in f^{-1}(N_2)$ [/mm] ist, ist [mm] $f^{-1}(N_1) \subset f^{-1}(N_2)$
[/mm]
Korrekt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:41 Do 11.12.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ist [mm]N_1 \subset N_2 \subset Y[/mm], so folgt [mm]f^{-1}(N_1) \subset f^{-1}(N_2)[/mm]
>
> Hm verstehe. Und bei der inversen Abblidung [mm]f^{-1}[/mm] ist es
> dann also folgendermaßen, oder? (siehe Aufgabe)
>
> Für jedes [mm]y \in N_1[/mm] gibt es ein [mm]\red{x = f^{-1}(y)} \in f^{-1}(N_1)[/mm].
diese Behauptung ist schon falsch. Beispiel:
$f: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] mit [mm] $f(x)=x^2\,.$ [/mm] Betrachte [mm] $N_1:=\{-1,1\} \subset \IR\,.$ [/mm] Dann gibt es für $y=-1 [mm] \in N_1$ [/mm] aber kein $x [mm] \in \IR$ [/mm] mit [mm] $f(x)=x^2=y=-1\,.$ [/mm]
> Da [mm]N_1[/mm] eine Teilmende von [mm]N_2[/mm] ist, also jedes x auch [mm]x \in f^{-1}(N_2)[/mm]
> ist, ist [mm]f^{-1}(N_1) \subset f^{-1}(N_2)[/mm]
>
> Korrekt?
Nein, nicht wirklich (schau' mal genau hin: Es ist ein Unding, dass Du da einfach sagst, dass aus $x [mm] \in f^{-1}(N_1)$ [/mm] auch $x [mm] \in f^{-1}(N_2)$ [/mm] folgt, wenn [mm] $N_1 \subset N_2$; [/mm] gerade das ist doch die Aufgabe!).
Zudem:
Ein (weiterer) Fehler liegt schon darin, dass Du anscheinend glaubst, dass [mm] $f^{-1}$ [/mm] hier die Umkehrabbildung bezeichne. Diese existiert aber im allgemeinen gar nicht!
Ist $f: A [mm] \to [/mm] B$ eine Abbildung, so bezeichnet man für alle $N [mm] \in \text{Pot}(B)$ [/mm] mit [mm] $f^{-1}(N)$ [/mm] folgendes:
[mm] $$f^{-1}(N)=\{x \in A:\;f(x) \in N\}\,,$$
[/mm]
und nennt [mm] $f^{-1}(N)$ [/mm] dann das Urbild (oder die Urbildmenge) von $N$ unter (der Abbildung) $f$.
Beispiel:
$g: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] mit [mm] $g(x)=\sin(x)$. [/mm] Dann gilt [mm] $g^{-1}(\{0,1\})=\{k*2\,\pi,\;(\pi/2)+k*2\,\pi:\;k \in \IZ\}$.
[/mm]
[mm] $\text{(}$Du [/mm] kannst und darfst ja i.a. gar nicht [mm] $x=f^{-1}(y)$ [/mm] hinschreiben; oben ist z.B. $g$ auf [mm] $\IR$ [/mm] nicht umkehrbar ($g$ ist weder injektiv noch surjektiv!), also kannst Du nicht von einer inversen Abbildung [mm] $g^{-1}$ [/mm] sprechen. Die Menge [mm] $g^{-1}(\{0\})$ [/mm] läßt sich dennoch hinschreiben, so, wie sie definiert ist:
[mm] $$g^{-1}(\{0\})=\{x \in \IR:\;\sin(x)=0\}=\{k*2\,\pi:\;k\in \IZ\}\,.\text{)}$$
[/mm]
Nun, wie bereits gesagt: Du darfst nicht [mm] $x=f^{-1}(y)$ [/mm] schreiben. Aber Du brauchst das natürlich nicht. Machen wir es nun mal richtig:
Zu zeigen ist: [mm] $N_1 \subset N_2 \subset [/mm] Y$
[mm] $\Rightarrow$ $\green{f^{-1}(N_1) \subset f^{-1}(N_2)}\,.$
[/mm]
Was ist also überhaupt zu zeigen?
Unter der Voraussetzung, dass [mm] $N_1 \subset N_2 \subset [/mm] Y$ sei:
Wenn wir (irgend-) ein $x [mm] \in f^{-1}(N_1)$ [/mm] hernehmen, dann muss auch $x [mm] \in f^{-1}(N_2)$ [/mm] sein.
(Kurze Bemerkung: Bei Deinem Beweis oben stellt sich schon die Frage, wieso Du mit $y [mm] \in N_1$ [/mm] beginnst, wo Du doch eher mit $x [mm] \in f^{-1}(N_1)$ [/mm] beginnen solltest.)
Also:
Nach Voraussetzung gilt [mm] $N_1 \subset N_2 \subset Y\,.$
[/mm]
(Wenn Du willst, kannst Du nun zunächst auch sagen: Ist [mm] $f^{-1}(N_1)=\emptyset$, [/mm] so ist nichts zu zeigen [mm] ($\emptyset$ [/mm] ist Teilmenge einer jeden Menge!). Sei also [mm] $f^{-1}(N_1) \not=\emptyset$.) [/mm]
Nun sei $x [mm] \in f^{-1}(N_1)\,.$ [/mm] Dann gilt $f(x) [mm] \in N_1\,.$... [/mm]
(Jetzt musst Du noch in zwei Schritten begründen, wieso dann $x [mm] \in f^{-1}(N_2)$ [/mm] folgt.)
Gruß,
Marcel
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