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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:01 Di 10.02.2009 | | Autor: | Kevinus |
| Aufgabe | Gegeben seien eine Abbildung f : M → N und Teilmengen [mm] X_{1},X_{2} [/mm] von M bzw. [mm] Y_{1}, Y_{2}
[/mm]
von N.
Beweisen oder widerlegen Sie:
(i) [mm] f(X_{1} \cup X_{2}) [/mm] = [mm] f(X_{1}) \cup f(X_{2}).
[/mm]
(ii) [mm] f(X_{1} \cap X_{2}) [/mm] = [mm] f(X_{1}) \cap f(X_{2}).
[/mm]
(iii) [mm] f^{-1}(Y_{1} \cup Y_{2}) [/mm] = [mm] f^{-1}(Y_{1}) \cup f^{-1}(Y_{2}).
[/mm]
(iv) [mm] f^{-1}(Y_{1} \cap Y_{2}) [/mm] = [mm] f^{-1}(Y_{1}) \cap f^{-1}(Y_{2}). [/mm] |
Hallo,
ich bearbeite gerade ein paar Übungsaufgaben nach. Joa und an dieser fehlt mir ein wenig das "Verständnis".
(i)
Ich würde einfach behaupten das (i) richtig ist, schon rein aus dem logischen Aspekt heraus. Nun fällt es mir aber schwer einen stichhaltigen Beweis zu zeigen. Mein 1. Versuch sah so aus:
zu zeigen(z.z.) [mm] f(X_{1} \cup X_{2}) [/mm] = [mm] f(X_{1}) \cup f(X_{2})
[/mm]
[mm] f(x_{1} \in X_{1} \vee x_{2} \in X_{2}) [/mm] = [mm] f(X_{1}) \cup f(X_{2})
[/mm]
[mm] f(x_{1}) \vee f(x_{2}) [/mm] = [mm] f(X_{1}) \cup f(X_{2})
[/mm]
Da [mm] x_{1} \in X_{1} [/mm] und [mm] x_{2} \in X_{2} [/mm] gilt:
[mm] f(X_{1}) [/mm] und [mm] f(X_{2})
[/mm]
Also:
[mm] f(X_{1}) \cup f(X_{2}) [/mm] = [mm] f(X_{1}) \cup f(X_{2})
[/mm]
Mein 2. Versuch (oder halt andere Schreibweise!?):
z.z.: [mm] f(X_{1} \cup X_{2}) [/mm] = [mm] f(X_{1}) \cup f(X_{2})
[/mm]
[mm] f(x_{1} \in X_{1} \vee x_{2} \in X_{2}) [/mm] = [mm] f(x_{1} \in X_{1}) \cup f(x_{2} \in X_{2})
[/mm]
[mm] x_{1} \vee x_{2} [/mm] = x , [mm] f(x_{1}) [/mm] = [mm] y_{1} [/mm] , [mm] f(x_{2}) [/mm] = [mm] y_{2}
[/mm]
f(x) = [mm] y_{1} \vee y_{2}
[/mm]
[mm] y_{1} \vee y_{2}= [/mm] y , f(x) = y
y = y
Naja, wie gesagt, beide Versionen sind halt irgendwie nicht stichhaltig genug. So denke ich es zumindstens.
Würde mich freuen wenn mir jmd. helfen könnte.
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> Gegeben seien eine Abbildung f : M → N und Teilmengen
> [mm]X_{1},X_{2}[/mm] von M bzw. [mm]Y_{1}, Y_{2}[/mm]
> von N.
> Beweisen oder widerlegen Sie:
> (i) [mm]f(X_{1} \cup X_{2})[/mm] = [mm]f(X_{1}) \cup f(X_{2}).[/mm]
> (ii) [mm]f(X_{1} \cap X_{2})[/mm] = [mm]f(X_{1}) \cap f(X_{2}).[/mm]
> (iii) [mm]f^{-1}(Y_{1} \cup Y_{2})[/mm] = [mm]f^{-1}(Y_{1}) \cup f^{-1}(Y_{2}).[/mm]
> (iv) [mm]f^{-1}(Y_{1} \cap Y_{2})[/mm] = [mm]f^{-1}(Y_{1}) \cap f^{-1}(Y_{2}).[/mm]
> (i) Ich würde einfach behaupten dass (i) richtig ist, schon
> rein aus dem logischen Aspekt heraus.
Es geht natürlich genau darum, diese Logik richtig
zu Papier zu bringen !
> Nun fällt es mir aber schwer einen stichhaltigen
> Beweis zu zeigen. Mein 1. Versuch sah so aus:
> zu zeigen(z.z.) [mm]f(X_{1} \cup X_{2})[/mm] = [mm]f(X_{1}) \cup f(X_{2})[/mm]
>
> [mm]f(x_{1} \in X_{1} \vee x_{2} \in X_{2})[/mm] = [mm]f(X_{1}) \cup f(X_{2})[/mm]
>
> [mm]f(x_{1}) \vee f(x_{2})[/mm] = [mm]f(X_{1}) \cup f(X_{2})[/mm]
> Da [mm]x_{1} \in X_{1}[/mm] und [mm]x_{2} \in X_{2}[/mm] gilt:
> [mm]f(X_{1})[/mm] und [mm]f(X_{2})[/mm]
> Also: [mm]f(X_{1}) \cup f(X_{2})\ =\ f(X_{1}) \cup f(X_{2})[/mm]
>
>
> Mein 2. Versuch (oder halt andere Schreibweise!?):
>
> z.z.: [mm]f(X_{1} \cup X_{2})[/mm] = [mm]f(X_{1}) \cup f(X_{2})[/mm]
>
> [mm]f(x_{1} \in X_{1} \vee x_{2} \in X_{2})[/mm] = [mm]f(x_{1} \in X_{1}) \cup f(x_{2} \in X_{2})[/mm]
>
> [mm]x_{1} \vee x_{2}[/mm] = x , [mm]f(x_{1})[/mm] = [mm]y_{1}[/mm] , [mm]f(x_{2})[/mm] = [mm]y_{2}[/mm]
> f(x) = [mm]y_{1} \vee y_{2}[/mm] [mm]y_{1} \vee y_{2}=[/mm] y , f(x) = y
> y = y
>
>
> Naja, wie gesagt, beide Versionen sind halt irgendwie nicht
> stichhaltig genug.
Vor allem ist das ein ziemliches Formel-Kauderwelsch !
Um zu zeigen, dass [mm]f(X_{1} \cup X_{2})\ =\ f(X_{1}) \cup f(X_{2})[/mm] ist,
musst du zeigen:
1.) falls $\ [mm] a\in f(X_{1} \cup X_{2})$ [/mm] ist, dann ist $\ [mm] a\in f(X_{1}) \cup f(X_{2})$
[/mm]
2.) falls $\ [mm] a\in f(X_{1}) \cup f(X_{2})$ [/mm] ist, dann ist $\ [mm] a\in f(X_{1} \cup X_{2})$
[/mm]
Nehmen wir mal den ersten Teilbeweis:
Es sei [mm] a\in f(X_{1} \cup X_{2}). [/mm] Dann gibt es ein [mm] b\in X_{1} \cup X_{2} [/mm] mit $\ f(b)=a$ .
Da [mm] b\in X_{1} \cup X_{2}, [/mm] ist [mm] b\in X_{1} \vee b\in X_{2}.
[/mm]
Ist [mm] b\in X_{1}, [/mm] so ist [mm] f(b)=a\in f(X_{1}). [/mm] Ist [mm] b\in X_{2}, [/mm] so ist [mm] f(b)=a\in f(X_{2}).
[/mm]
Jedenfalls ist [mm] a\in f(X_{1}) \cup f(X_{2}), [/mm] Q.E.D.
In ähnlicher Art kannst du den zweiten Teil dieses
Beweises und die anderen Beweise angehen.
Gruß Al-Chwarizmi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:30 Mi 11.02.2009 | | Autor: | Kevinus |
Ah, genau das habe ich gesucht. Danke schön für die Hilfe. :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:09 Fr 26.02.2010 | | Autor: | Mary1986 |
Hallo!
Ich habe die gleichen Aufgaben und wollte nur mal von euch hören ob es so wie ich es gemacht habe auch geht:
Also
[mm]
f(M_1) \cup f(M_2) = f(\left\{x \in X \left| x \in M_1 oder x\in M_2 \right\} [/mm]
[mm]
= \left\{ y\in Y \left| es ex. ein x \in M_1 mit f(x)=y oder es ex. ein x \in M_2 mit f(x)=y \right\} [/mm]
[mm]
= \left\{ y \in Y \left | es ex. ein x \in M_1 mit f(x) = y) \right\} \cup \left\{ y \in Y \left | es ex. ein x \in M_2 mit f(x) = y) \right\}= f(M_1) \cup f(M_2)[/mm]
und dann würde ich es nochmal so von unten hoch schreiben um die andere richtung zu beweisen. Ist das so korrekt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:33 Fr 26.02.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hallo,
> [mm]
f(M_1) \cup f(M_2) = f(\left\{x \in X \left| x \in M_1 oder x\in M_2 \right\}[/mm]
>
> [mm]
= \left\{ y\in Y \left| es ex. ein x \in M_1 mit f(x)=y oder es ex. ein x \in M_2 mit f(x)=y \right\}[/mm]
>
> [mm]
= \left\{ y \in Y \left | es ex. ein x \in M_1 mit f(x) = y) \right\} \cup \left\{ y \in Y \left | es ex. ein x \in M_2 mit f(x) = y) \right\}= f(M_1) \cup f(M_2)[/mm]
Man kann diese Aufgabe auch auf diese Weise lösen. Mir erscheint nur die Stelle am zweiten der vier Gleichheitszeichen zu grobschrittig. Da würde ich noch ein oder zwei Zwischenschritte einfügen. Wichtig ist vor allem, dass du wirklich jede einzelne Gleichheit begründen könntest.
> und dann würde ich es nochmal so von unten hoch schreiben
> um die andere richtung zu beweisen. Ist das so korrekt?
Mit dieser Gleichungskette hast du schon die Behauptung bewiesen!
Ob A=B=C oder C=B=A: Das bedeutet das gleiche, nämlich dass A, B und C übereinstimmen. Analoges gilt auch mit vier statt zwei Gleichheitszeichen.
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:56 Fr 26.02.2010 | | Autor: | Mary1986 |
Hallo Tobias, danke für deine Antwort!
Also ich wüsste jetzt nicht welche zwischenschritte ich da noch einfügen soll, da ja die Definition vom Bild f(M) =[mm]\left\{ y \in Y \left| es ex. ein x\in M mit f(x)=y \right\}[/mm] für M Teilmenge X ist. Also hab das quasi nur in die Definition übersetzt.
Welche Zwischenschritte würdest du machen?
Zum zweiten Teil der Aufgabe habe ich noch eine frage
[mm] f(M_1) \cap f(M_2) \subseteq f(M_1) \cap f(M_2) [/mm] gilt ja nur... und ich würde das genauso beweisen wie die von vorhin... aber da hätte ich dann ein gleichheitszeichen... also mein Beweis sähe so aus
[mm] f(M_1) \cap f(M_2) = f(\left\{ x\in X \left| x\in M_1 und x \in M_2\right\}) [/mm]
= [mm] \left\{y\in Y \left| es ex. ein x \in M_1 und ein x \in M_2 mit f(x)=y \right\} [/mm]
= [mm] \left\{y\in Y \left| es ex. ein x \in M_1 \right\} \cap \left\{ y\in Y \left| ein x \in M_2 mit f(x)=y \right\} [/mm]
= [mm] f(M_1) \cap f(M_2) [/mm]
und das kann ja nicht sein, da der Rückschritt (also das rückwärst ja nicht gilt... wo liegt denn da mein Denkfehler???
Viele Grüße
Mary
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:08 Fr 26.02.2010 | | Autor: | tobit09 |
> Also ich wüsste jetzt nicht welche zwischenschritte ich da
> noch einfügen soll, da ja die Definition vom Bild f(M)
> =[mm]\left\{ y \in Y \left| es ex. ein x\in M mit f(x)=y \right\}[/mm]
> für M Teilmenge X ist. Also hab das quasi nur in die
> Definition übersetzt.
> Welche Zwischenschritte würdest du machen?
Mein Vorschlag:
[mm] $f(\left\{x \in X \left| x \in M_1 oder x\in M_2 \right\}$
$=\{y\in Y\;|\;\mbox{es existiert ein }x\in X\mbox{ mit }x\in M_1\mbox{ oder }x\in M_2\mbox{, so dass }f(x)=y\}$
$=\left\{ y\in Y \left| es ex. ein x \in M_1 mit f(x)=y oder es ex. ein x \in M_2 mit f(x)=y \right\}$.
> [/mm] [mm]f(M_1\red) \cap \red{f(}M_2) = f(\left\{ x\in X \left| x\in M_1 und x \in M_2\right\})[/mm]
>
> = [mm]\left\{y\in Y \left| es ex. ein x \in M_1\red{\mbox{ mit }f(x)=y} und ein x \in M_2 mit f(x)=y \right\}[/mm]
>
> = [mm]\left\{y\in Y \left| es ex. ein x \in M_1 \red{\mbox{ mit }f(x)=y}\right\} \cap \left\{ y\in Y \left| ein x \in M_2 mit f(x)=y \right\}[/mm]
>
> = [mm]f(M_1) \cap f(M_2)[/mm]
Das Problem ist wieder das zweite der vier Gleichheitszeichen: Diese Gleichheit stimmt i.A. nicht. Es gilt
[mm] $f(\left\{x \in X \left| x \in M_1 und x\in M_2 \right\}$
$= \{y\in Y\;|\;\mbox{es existiert ein }x\in X\mbox{ mit }x\in M_1\mbox{ und }x\in M_2\mbox{, so dass }f(x)=y\}$
$\subset\left\{ y\in Y \left| es ex. ein x \in M_1 mit f(x)=y und es ex. ein x \in M_2 mit f(x)=y \right\}.$.
Es gilt i.A. keine Gleichheit. Für Elemente y der unteren Menge kann es zwei verschiedene $x\in X$ geben, die die beiden Bedingungen $x \in M_1 mit f(x)=y$ und $x \in M_2 mit f(x)=y$ erfüllen. Für Elemente y der oberen Menge muss es dagegen EIN $x\in X$ geben, das beide Bedingungen gleichzeitig erfüllt.
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:49 Sa 27.02.2010 | | Autor: | Mary1986 |
Halle Tobias!
Danke für deine Hilfe, jetzt habe ich es verstanden 
Viele Grüße
Mary
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