Beweis verstehen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:07 Di 06.08.2013 | | Autor: | johnny23 |
Liebes Forum,
ich beschäftige mich gerade mit dem Buch Wahrscheinlichkeitstheorie von Rosanow. Nun bin ich gerade bei einem Beweis, den ich nicht nachvollziehen kann. Über jede Hilfe freue ich mich sehr! Ich habe die Frage übrigens auch schon im Forum für Wahrscheinlichkeitstheorie gestellt. Da es aber um Reihenkonvergenz bzw. -divergenz geht, gibt es hier vielleicht Jemanden, der mir auf die Sprünge helfen kann.
Beweis aus Buch:
Einführung: Zustand [mm] \varepsilon{j} [/mm] ist von [mm] \varepsilon{i} [/mm] erreichbar, wenn die Übergangswahrscheinlichkeit [mm] p_{ij}(M)=\alpha>0 [/mm] mit [mm] M\in\IN. [/mm] Ist [mm] \varepsilon{i} [/mm] ein rekurrenter Zustand und ist [mm] \varepsilon{j} [/mm] von [mm] \varepsilon{i} [/mm] aus erreichbar, dann ist auch [mm] \varepsilon{i} [/mm] von [mm] \varepsilon{j} [/mm] aus erreichbar und es ist [mm] p_{ji}(N)=\beta>0 [/mm] mit [mm] N\in\IN.
[/mm]
(Dies ist einleuchtend, nun soll beweisen werden, dass [mm] \varepsilon{j} [/mm] dann auch rekurrent ist)
Aus [mm] P(n)=P^{n} [/mm] (P ist die Übergangsmatrix für n Schritte) folgt:
P(n+M+N)=P(N)P(n)P(M) (auch klar soweit)
Dann ergibt sich:
[mm] p_{ii}(n+M+N)\ge p_{ij}(M)p_{jj}(n)p_{ji}(N)=\alpha\beta p_{jj}(n)
[/mm]
[mm] p_{jj}(n+M+N)\ge p_{ji}(M)p_{ii}(n)p_{ij}(N)=\alpha\beta p_{ii}(n)
[/mm]
Diese Ungleichungen zeigen, dass die Reihen
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}p_{ii}(n) [/mm] und [mm] \summe_{n=1}^{\infty}p_{jj}(n)
[/mm]
entweder beide konvergieren oder beide divergieren.
Diesen Schritt kann ich leider nicht nachvollziehen. Ich versteh nicht, wie sich die beiden Ungleichungen ergeben. Aber dies ist wohl auch eher was für die Wahrscheinlichkeitstheoretiker. Falls jemand eine Idee hat aber immer gerne.
Für das Analysis Forum: Wieso zeigen die beiden Ungleichungen, dass die beiden Reihen entweder divergieren oder konvergieren?
Über jede Hilfe bin ich wie immer sehr dankbar.
Viele Grüße!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:43 Di 06.08.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Liebes Forum,
>
> ich beschäftige mich gerade mit dem Buch
> Wahrscheinlichkeitstheorie von Rosanow. Nun bin ich gerade
> bei einem Beweis, den ich nicht nachvollziehen kann. Über
> jede Hilfe freue ich mich sehr! Ich habe die Frage
> übrigens auch schon im Forum für
> Wahrscheinlichkeitstheorie gestellt. Da es aber um
> Reihenkonvergenz bzw. -divergenz geht, gibt es hier
> vielleicht Jemanden, der mir auf die Sprünge helfen kann.
>
> Beweis aus Buch:
>
> Einführung: Zustand [mm]\varepsilon{j}[/mm] ist von [mm]\varepsilon{i}[/mm]
> erreichbar, wenn die Übergangswahrscheinlichkeit
> [mm]p_{ij}(M)=\alpha>0[/mm] mit [mm]M\in\IN.[/mm] Ist [mm]\varepsilon{i}[/mm] ein
> rekurrenter Zustand und ist [mm]\varepsilon{j}[/mm] von
> [mm]\varepsilon{i}[/mm] aus erreichbar, dann ist auch [mm]\varepsilon{i}[/mm]
> von [mm]\varepsilon{j}[/mm] aus erreichbar und es ist
> [mm]p_{ji}(N)=\beta>0[/mm] mit [mm]N\in\IN.[/mm]
>
> (Dies ist einleuchtend, nun soll beweisen werden, dass
> [mm]\varepsilon{j}[/mm] dann auch rekurrent ist)
>
> Aus [mm]P(n)=P^{n}[/mm] (P ist die Übergangsmatrix für n Schritte)
> folgt:
>
> P(n+M+N)=P(N)P(n)P(M) (auch klar soweit)
>
> Dann ergibt sich:
>
> [mm]p_{ii}(n+M+N)\ge p_{ij}(M)p_{jj}(n)p_{ji}(N)=\alpha\beta p_{jj}(n)[/mm]
>
> [mm]p_{jj}(n+M+N)\ge p_{ji}(M)p_{ii}(n)p_{ij}(N)=\alpha\beta p_{ii}(n)[/mm]
>
> Diese Ungleichungen zeigen, dass die Reihen
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}p_{ii}(n)[/mm] und
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}p_{jj}(n)[/mm]
>
> entweder beide konvergieren oder beide divergieren.
>
> Diesen Schritt kann ich leider nicht nachvollziehen. Ich
> versteh nicht, wie sich die beiden Ungleichungen ergeben.
> Aber dies ist wohl auch eher was für die
> Wahrscheinlichkeitstheoretiker. Falls jemand eine Idee hat
> aber immer gerne.
>
> Für das Analysis Forum: Wieso zeigen die beiden
> Ungleichungen, dass die beiden Reihen entweder divergieren
> oder konvergieren?
na, wenn ich das richtig sehe, steht doch da (jeweils) so etwas - ich
schreibe es mal um:
Seien $N,M,i,j$ fest und $n [mm] \in \IN.$ [/mm] Seien [mm] $x_n:=p_{j,j}(n)$ [/mm] und [mm] $y_n:=p_{i,i}(n).$
[/mm]
Dann besagt die erste Ungleichung
[mm] $\alpha \beta x_n \le y_{n+M+N}\,.$
[/mm]
Da eine Reihe genau dann konvergiert, wenn eines (und damit jedes) ihrer
Restglieder konvergiert, konvergiert [mm] $\sum_{n=1}^\infty y_n$ [/mm] genau dann, wenn [mm] $\sum_{n=1}^\infty y_{n+M+N}$ [/mm]
konvergiert.
(Es gilt auch [mm] $\sum_{n=1}^\infty y_{n+M+N}=\sum_{n=N+M+1}^\infty y_n.$)
[/mm]
D.h.:
Die Konvergenz von [mm] $\sum_{n=1}^\infty y_{n}$ [/mm] liefert die Konvergenz von [mm] $\sum_{n=1}^\infty y_{n+M+N}\,,$
[/mm]
und wegen [mm] $\alpha \beta \sum_{n=1}^\infty x_n \le $\sum_{n=1}^\infty y_{n+M+N}$ [/mm] folgt dann die Konvergenz von
[mm] $\alpha \beta \sum_{n=1}^\infty x_n\,,$ [/mm] also die Konvergenz von [mm] $\sum_{n=1}^\infty x_n\,.$
[/mm]
Analog folgerst Du aus der Konvergenz von [mm] $\sum_{n=1}^\infty x_n$ [/mm] die Konvergenz
von [mm] $\sum_{n=1}^\infty x_{n+M+N}$ [/mm] - mit der zweiten Ungleichung und dem
Majorantenkriterium ergibt sich dann die Konvergenz von [mm] $\sum_{n=1}^\infty y_n$ [/mm] genauso!
P.S. Weil die Herleitung der Ungleichungen noch nicht gemacht wurde,
stelle ich die Frage mal nur auf halb beantwortet. Ich denke, dass das
in Deinem Sinne ist!
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:23 Mi 07.08.2013 | | Autor: | johnny23 |
Vielen Dank! Ja leuchtet mir ein. Und für den Fall der Divergenz würde man dann den Beweis analog über das Minorantenkriterium führen, oder? Also sei [mm] \summe_{n=1}^{\infty} x_{n} [/mm] divergent, dann ist auch [mm] \alpha\beta\summe_{n=1}^{\infty} x_{n} [/mm] divergent und weil [mm] \alpha\beta\ x_{n} \le y_{n+M+N} [/mm] ist auch [mm] \summe_{n=1}^{\infty}y_{n+M+N} [/mm] divergent und daher schließlich auch [mm] \summe_{n=1}^{\infty}y_{n} [/mm] divergent. Für den Fall [mm] \summe_{n=1}^{\infty} y_{n} [/mm] divergent [mm] \to \summe_{n=1}^{\infty} x_{n} [/mm] divergent dann analog über die zweite Ungleichung. Kommt das so hin?
Grüße!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:02 Mi 07.08.2013 | | Autor: | fred97 |
> Vielen Dank! Ja leuchtet mir ein. Und für den Fall der
> Divergenz würde man dann den Beweis analog über das
> Minorantenkriterium führen, oder? Also sei
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} x_{n}[/mm] divergent, dann ist auch
> [mm]\alpha\beta\summe_{n=1}^{\infty} x_{n}[/mm] divergent und weil
> [mm]\alpha\beta\ x_{n} \le y_{n+M+N}[/mm] ist auch
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}y_{n+M+N}[/mm] divergent und daher
> schließlich auch [mm]\summe_{n=1}^{\infty}y_{n}[/mm] divergent.
> Für den Fall [mm]\summe_{n=1}^{\infty} y_{n}[/mm] divergent [mm]\to \summe_{n=1}^{\infty} x_{n}[/mm]
> divergent dann analog über die zweite Ungleichung. Kommt
> das so hin?
Ja
FRED
>
> Grüße!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:41 Mi 07.08.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Jonny,
> Vielen Dank! Ja leuchtet mir ein. Und für den Fall der
> Divergenz würde man dann den Beweis analog über das
> Minorantenkriterium führen, oder?
warum fragst Du denn nochmal danach?
Bedenke:
Wenn ich behaupte, dass [mm] $\sum x_n$ [/mm] genau dann konvergiert, wenn [mm] $\sum y_n$ [/mm] konvergiert,
so bedeutet das erstmal einfach nur, dass die beiden Folgerungen
[mm] $\sum x_n$ [/mm] kgt. [mm] $\Rightarrow$ $\sum y_n$ [/mm] konvergent
und
[mm] $\sum y_n$ [/mm] kgt. [mm] $\Rightarrow$ $\sum x_n$ [/mm] konvergent
zu beweisen sind.
Wenn Du sagst, dass Du das machst, indem Du
[mm] $\sum x_n$ [/mm] kgt. [mm] $\Rightarrow$ $\sum y_n$ [/mm] konvergent
und
[mm] $\sum x_n$ [/mm] divergent [mm] $\Rightarrow$ $\sum y_n$ [/mm] dvgt.
beweist, so geht das natürlich auch:
Die Folgerung "$A [mm] \Rightarrow [/mm] B$" ist doch (logisch) gleichwertig mit ihrer Kontraposition
[mm] $(\neg [/mm] B) [mm] \Rightarrow (\neg [/mm] A).$
D.h., bei dem zuletzt vorgeschlagenen Weg beweist Du einfach die Folgerung
[mm] $\sum y_n$ [/mm] kgt. [mm] $\Rightarrow$ $\sum x_n$ [/mm] konvergent
so, dass Du dort die zugehörige Kontrapostion
[mm] $\sum x_n$ [/mm] divergent [mm] $\Rightarrow$ $\sum y_n$ [/mm] dvgt.
beweist.
Aber um $A [mm] \iff [/mm] B$ zu beweisen, musst Du natürlich außer
$A [mm] \Rightarrow [/mm] B$ und $B [mm] \Rightarrow [/mm] A$
NICHT noch zusätzlich sowas wie
[mm] $(\neg [/mm] B) [mm] \Rightarrow (\neg [/mm] A)$
beweisen: Damit würdest Du (hier) nur die Folgerung $A [mm] \Rightarrow [/mm] B$ einfach zweimal
beweisen - aber einmal reicht doch! 
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:57 Sa 10.08.2013 | | Autor: | johnny23 |
Ja klar, du hast recht ;) Wenn Reihe A genau dann konvergiert wenn Reihe B konvergiert, dann ist der Fall "Nur eine von beiden Reihen konvergiert oder divergiert" bereits ausgeschlossen...
Danke für die Hilfe!
|
|
|
|
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
Und jetzt habe ich auch den Sinn der Nachfrage verstanden. 
