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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:41 So 16.10.2011 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | Hallo! Back to the roots! Nach längerer Zeit mal wieder eine Induktionsaufgabe. Dort fing' alles an...
Man zeige folgende Ungleichung per vollständiger Induktion:
[mm]\sum_{k=0}^{n+1}\frac{1}{k!}\leq 3-\frac{1}{n+1}[/mm] |
Induktionsverankerung:
[mm]n=0[/mm]
[mm]\sum_{k=0}^{1}\frac{1}{k!}=\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}=2\leq 2-\frac{1}{1}=2[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Induktionsvoraussetzung:
Die Behauptung sei für n gezeigt.
Induktionsschritt:
[mm]n\mapsto n+1[/mm]
Muss ich jetzt zeigen
[mm]\sum_{k=0}^{n+2}\frac{1}{k!}\leq 3-\frac{1}{n+1}[/mm]
oder aber
[mm]\sum_{k=0}^{n+1}\frac{1}{k!}\leq 3-\frac{1}{n+1}[/mm]?
[Das heißt, welcher obere Index bei der Summe ist korrekt?]
Das müsste ich erstmal wissen, bin da ein bisschen irritiert gerade.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:46 So 16.10.2011 | | Autor: | leduart |
hallo
um von n auf n+1 zu schließen musst du ALLE in der Formel vorkommenden n durch n+1 ersetzen! Hier also die summe bis (n+1)+1=n+2
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:19 So 16.10.2011 | | Autor: | mikexx |
Das macht natürlich Sinn. 
Das bedeutet, ich habe zu zeigen, daß
[mm]\sum_{k=0}^{n+2}\frac{1}{k!}\leq 3-\frac{1}{n+2}[/mm]?
Ich würde dann so weitermachen:
[mm]\sum_{k=0}^{n+2}\frac{1}{k!}=\sum_{k=0}^{n+1}\frac{1}{k!}+\frac{1}{(n+2)!}\leq 3-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{(n+2)!}[/mm]
Wenn das stimmt: Wie gehts weiter?
Den Hauptnenner der beiden Brüche finden? Der müsste [mm](n+2)![/mm] sein.
Sodaß ich bei
[mm]\hdots\leq 3-\frac{(n+2)\cdot n!+1}{(n+2)!}[/mm] stünde.
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Hallo mikexx,
> Das macht natürlich Sinn.
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> Das bedeutet, ich habe zu zeigen, daß
>
> [mm]\sum_{k=0}^{n+2}\frac{1}{k!}\leq 3-\frac{1}{n+2}[/mm]?
>
> Ich würde dann so weitermachen:
>
> [mm]\sum_{k=0}^{n+2}\frac{1}{k!}=\sum_{k=0}^{n+1}\frac{1}{k!}+\frac{1}{(n+2)!}\leq 3-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{(n+2)!}[/mm]
>
> Wenn das stimmt: Wie gehts weiter?
>
> Den Hauptnenner der beiden Brüche finden? Der müsste
> [mm](n+2)![/mm] sein.
>
> Sodaß ich bei
>
> [mm]\hdots\leq 3-\frac{(n+2)\cdot n!\red{+}1}{(n+2)!}[/mm] stünde.
Das "+" sollte ein "-" sein!
Das ist richtig, nun musst du geschickt abschätzen.
Das kannst du vllt. auch anstatt gleichnamig zu machen, direkt versuchen.
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:02 So 16.10.2011 | | Autor: | mikexx |
Meine Idee wäre folgende:
[mm]3-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{(n+2)!}\leq 3-\frac{1}{n+2}[/mm], da
[mm]\frac{1}{n+1}+\frac{1}{(n+2)!}\geq\frac{1}{n+1}\geq\frac{1}{n+2}[/mm], also ist das, was man auf der linken Ungleichungsseite von 3 abzieht größer als das, was man auf der rechten Seite von 3 subtrahiert.
Ist das korrekt, kann man das so machen?
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Hallo mikexx,
> Meine Idee wäre folgende:
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> [mm]3-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{(n+2)!}\leq 3-\frac{1}{n+2}[/mm], da
>
> [mm]\frac{1}{n+1}+\frac{1}{(n+2)!}\geq\frac{1}{n+1}\geq\frac{1}{n+2}[/mm],
> also ist das, was man auf der linken Ungleichungsseite von
> 3 abzieht größer als das, was man auf der rechten Seite
> von 3 subtrahiert.
>
> Ist das korrekt, kann man das so machen?
Die Idee ist ganz gut, aber Dir ist ein Vorzeichenfehler unterlaufen: Es müsste hier [mm] -\bruch{1}{(n+2)!} [/mm] heißen.
Aber es ist trotzdem noch etwas zu retten: Die erste Ungleichung oben kann man ja so umformen:
[mm] \bruch{1}{(n+2)!}\le \bruch{1}{n+1}-\bruch{1}{n+2}
[/mm]
Das könntest Du mal mit (n+1)(n+2) multiplizieren...
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:23 So 16.10.2011 | | Autor: | mikexx |
Ich habe leider nicht so richtig verstanden, worauf Du abzielst.
Könntest Du es evtl. noch ein bisschen näher erläutern?
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Hallo nochmal,
> Ich habe leider nicht so richtig verstanden, worauf Du
> abzielst.
>
> Könntest Du es evtl. noch ein bisschen näher erläutern?
Hmpf. Ich habe es doch fast vollständig vorgerechnet.
Verstehst Du, wie ich auf die Ungleichung gekommen bin?
Es waren einfache Äquivalenzumformungen, ohne jeden "Trick".
Und am Ende hatte ich doch geschrieben, wie es weitergeht: multipliziere die ganze Gleichung mit (n+1)*(n+2).
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:33 So 16.10.2011 | | Autor: | mikexx |
Ich habe nicht verstanden, wie Du von dem, was ich vorgeschlagen hatte, zu der Ungleichung gekommen bist, wo Du dann multiplizieren willst.
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Hallo nochmal,
Du hattest
[mm] 3-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{(n+2)!}\leq 3-\frac{1}{n+2}
[/mm]
Die 3 steht auf beiden Seiten und kann also weg. |-3
Dann habe ich nur noch auf beiden Seiten [mm] \bruch{1}{n+1} [/mm] addiert und erhalte
[mm] \bruch{1}{(n+2)!}\le \bruch{1}{n+1}-\bruch{1}{n+2}
[/mm]
So, und jetzt mach Du mal weiter.
Ich werde nicht zum dritten Mal schreiben, wie.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:52 So 16.10.2011 | | Autor: | mikexx |
Okay, nochmal eine andere Frage:
Wieso gilt:
[mm]\frac{1}{n+1}-\frac{1}{(n+2)!}\geq\frac{1}{n+2}[/mm]?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:26 So 16.10.2011 | | Autor: | dennis2 |
Zunächstmal (darauf wurde ja aber schon hingewiesen):
Wenn Du das, was von 3 abgezogen wird, abschätzen willst, musst Du die Vorzeichen beachten!
Und dann:
[mm]\frac{1}{n+1}-\frac{1}{(n+2)!}\geq \frac{1}{n+2}[/mm]
[mm]\Leftrightarrow -\frac{1}{(n+2)!}\geq \frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+1}=-\frac{1}{(n+2)(n+1)}[/mm]
Dividiere durch -1: Dann hast Du
[mm]\frac{1}{(n+2)!}\leq\frac{1}{(n+2)(n+1)}[/mm] und das
stimmt natürlich (Nenner).
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:31 So 16.10.2011 | | Autor: | mikexx |
Und damit ist der Beweis beendet, nech?
Es ist ja die Behauptung bewiesen.
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Hallo,
> Und damit ist der Beweis beendet, nech?
>
> Es ist ja die Behauptung bewiesen.
Ja.
In meiner Fassung oben warst Du auch genau einen Schritt davor. Du hättest Die Gleichung nur mit (n+1)*(n+2) multiplizieren müssen, wie ich Dir schon zweimal geschrieben habe.
So ist Hilfestellung echt frustrierend.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:44 So 16.10.2011 | | Autor: | mikexx |
Es tut mir leid, daß ich Deinen Tipp irgendwie nicht auf den Schirm bekommen habe. Da hatte ich ein Brett vorm Kopf.
Ich danke Dir für Deine Hilfe.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:58 So 16.10.2011 | | Autor: | mikexx |
Hätte ich beide Ungleichungsseiten mit [mm](n+1)(n+2)[/mm] multipliziert, so wäre ich dann auf
[mm]\underbrace{\frac{(n+1)(n+2)}{(n+2)!}}_{\frac{1}{n!}}\leq \underbrace{\frac{(n+1)(n+2)}{(n+1)}-\frac{(n+1)(n+2)}{(n+2)}}_{1}[/mm]
gekommen, also auf [mm]\frac{1}{n!}\leq 1[/mm], was ja unbezweifelbar stimmt.
So müsstest Du es gemeint haben, reverend.
Hätte ich's bloß schneller begriffen.
LG
mikexx
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Hallo,
> Hätte ich beide Ungleichungsseiten mit [mm](n+1)(n+2)[/mm]
> multipliziert, so wäre ich dann auf
>
> [mm]\underbrace{\frac{(n+1)(n+2)}{(n+2)!}}_{\frac{1}{n!}}\leq \underbrace{\frac{(n+1)(n+2)}{(n+1)}-\frac{(n+1)(n+2)}{(n+2)}}_{1}[/mm]
Hey, aufwändige Darstellung! Gut so.
> gekommen, also auf [mm]\frac{1}{n!}\leq 1[/mm], was ja
> unbezweifelbar stimmt.
>
>
> So müsstest Du es gemeint haben, reverend.
Genau.
> Hätte ich's bloß schneller begriffen.
Schon gut. 
Grüße
rev
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