Beweis vollständige Induktion < Induktion < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:37 Mo 07.02.2005 | | Autor: | kamikaze |
Hallo!
Ich habe hier eine Aufgabe für'n Beweis vollständiger Induktion und komme beim Schluß wie immer nicht weiter.
[mm] \summe_{k=0}^{n} \bruch{1}{2^{k}} [/mm] = 2- [mm] \bruch{1}{2^{n}} [/mm]
meine bisherige Lösung:
Induktionsanfang n=0
[mm] \summe_{0}^{k=0} \bruch{1}{2^{0}} [/mm] = 1 und 2- [mm] \bruch{1}{2^{0}}= [/mm] 1
Induktionsschritt n [mm] \Rightarrow [/mm] n+1
[mm] \summe_{k=0}^{n+1} \bruch{1}{2^{k}} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n} \bruch{1}{2^{n}} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2^{n+1}} [/mm] = 2- [mm] \bruch{1}{2^{n}} +\bruch{1}{2^{n+1}} [/mm]
... und nun fehlt mir die zündende Idee...
Vielen Dank schon mal!
Grüße kamikaze
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:54 Mo 07.02.2005 | | Autor: | Paulus |
Lieber kamikaze
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Hallo!
> Ich habe hier eine Aufgabe für'n Beweis vollständiger
> Induktion und komme beim Schluß wie immer nicht weiter.
> [mm]\summe_{k=0}^{n} \bruch{1}{2^{k}}[/mm] = 2- [mm]\bruch{1}{2^{n}}[/mm]
>
> meine bisherige Lösung:
> Induktionsanfang n=0
> [mm]\summe_{0}^{k=0} \bruch{1}{2^{0}}[/mm] = 1 und 2-
> [mm]\bruch{1}{2^{0}}=[/mm] 1
> Induktionsschritt n [mm]\Rightarrow[/mm] n+1
> [mm]\summe_{k=0}^{n+1} \bruch{1}{2^{k}}[/mm] = [mm]\summe_{k=0}^{n} \bruch{1}{2^{n}}[/mm]
> + [mm]\bruch{1}{2^{n+1}}[/mm] = 2- [mm]\bruch{1}{2^{n}} +\bruch{1}{2^{n+1}}[/mm]
>
> ... und nun fehlt mir die zündende Idee...
Ja, da braucht es fast gar nix mehr!
In der Regel kommen bei den Beweisen durch vollständige Induktion die zündenden Ideen, wenn man sich durch das erhoffte Ergebnis leiten lässt.
Die Behauptung ist ja, dass gilt:
[mm] $\summe_{k=0}^{n+1} \bruch{1}{2^{k}}=2-\bruch{1}{2^{n+1}}$
[/mm]
Und du hast ja in deiner Rechnung bereits als letzten Ausdruck erhalten:
$... = [mm] 2-\bruch{1}{2^{n}} +\bruch{1}{2^{n+1}}$
[/mm]
Wenn man das mit dem Erhofften vergleicht, drängt sich doch lediglich auf, die beiden Brüche gleichnamig zu machen (ersten Bruch mit $2_$ erweitern) und auf einen einzigen Bruch zu nehmen. 
ich hoffe, diese kleine Anregung reiche aus, dass du die Aufgabe noch fertig lösen kannst. Falls nicht, dann meldest du dich bitte wieder, und falls doch, dann meldest du dich bitte auch wieder, damit wir wissen, ob unsere kleinen Tipps auch Früchte tragen! 
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:17 Mo 07.02.2005 | | Autor: | kamikaze |
hmm...
dann komm ich auf folgendes:
[mm] 2-\bruch{2}{2^{n+1}}+\bruch{1}{2^{n+1}}
[/mm]
[mm] =2-\bruch{3}{2^{n+1}}
[/mm]
oder steh ich im Wald??
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:53 Fr 14.09.2007 | | Autor: | wi1234 |
Hallo, ich habe genau diese Aufgabe zu lösen, kann den Erweiterungsschritt mit 2 aber nicht nachvollziehen!? Könnte mir das evtl. jemand erklären!?
Vielen Dank, wi1234
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> Hallo, ich habe genau diese Aufgabe zu lösen, kann den
> Erweiterungsschritt mit 2 aber nicht nachvollziehen!?
> Könnte mir das evtl. jemand erklären!?
Hallo,
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Zitiere bitte die Stellen, auf die Du Dich beziehst, in Zukunft, das erspart potentiellen Antwortenden das Raten.
Ich vermute, Du meinst diese Stelle: $ ... = [mm] 2-\bruch{1}{2^{n}} +\bruch{1}{2^{n+1}} [/mm] $ .
Hier kannst Du jetzt folgendes tun:
[mm] 2-\bruch{1}{2^{n}} +\bruch{1}{2^{n+1}}
[/mm]
[mm] =2-\bruch{2}{2*2^{n}} +\bruch{1}{2^{n+1}}
[/mm]
[mm] =2-\bruch{2}{2^{n+1}} +\bruch{1}{2^{n+1}}
[/mm]
[mm] =2+\bruch{-2+1}{2^{n+1}}
[/mm]
= das Gesuchte
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:58 Do 20.09.2007 | | Autor: | wi1234 |
Danke für die Hilfe, ich glaube jetzt habe ich es verstanden.
Heiko
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:56 Mo 07.02.2005 | | Autor: | kamikaze |
ups, ja dieses böse minus..
danke nochmal...
miau...
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
