Beweis von Beschränktheit < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei a > 0, x0 > [mm] \wurzel[3]{a} [/mm] und [mm] x_{n+1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3}( 2x_{n} [/mm] + [mm] \bruch{a}{x_{n}²} [/mm] |
Beweisen Sie:
[mm] x_{n} [/mm] >= [mm] \wurzel[3]{a}
[/mm]
Ich denke man müsste das wie immer bei Beschränktheit mit Induktion beweisen können, aber am Ansatz fehlts mir :/
Danke.
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Hallo,
ich möchte Dich bitten, in Zukunft den Formeleditor zu verwenden.
Es macht wenig Mühe, wenn man Indizes setzt, und man kann es dann um Klassen besser lesen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:19 Mo 11.02.2008 | | Autor: | nahpets87 |
Sorry, aber was meinst du? Ich habe doch den Formeleditor verwendet? Oder auf was genau beziehst du dich jetzt?
edit: Okay, habs verstanden. Du meinst natürlich die [mm] x_{n} [/mm] und [mm] x_{n+1}.
[/mm]
Klar, tut mir leid, werde das in Zukunft machen.
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Hi,
Ich bin jetzt grad nochmal über die Ungleichung vom arithmetrischem und geometrischem Mittel gestolpert und habe jetzt eine Lösungsidee:
[mm] x_{0} [/mm] >= [mm] \wurzel[]{a}
[/mm]
[mm] x_{n+1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}(x_{n} [/mm] + [mm] \bruch{a}{x_{n}}) \ge \wurzel[]{x_{n} * \bruch{a}{x_{n}}} [/mm] = [mm] \wurzel[]{a}
[/mm]
Also gilt es für [mm] x_{n} [/mm] und [mm] x_{n+1} [/mm] also für alle [mm] x_{n}
[/mm]
Kann man das so beweisen?
Also das war jetzt eine Aufgabe, aber bei der geposteten gehts ja dann ganz genauso. Man muss nur die Ungleichung vom a. und g. Mittel auf
[mm] \bruch{1}{3} [/mm] ( [mm] x_{n} [/mm] + [mm] x_{n} [/mm] + [mm] \bruch{a}{x_{n}²} [/mm] anwenden. dann kommt [mm] \wurzel[3]{a} [/mm] bei raus.
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> Hi,
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> Ich bin jetzt grad nochmal über die Ungleichung vom
> arithmetrischem und geometrischem Mittel gestolpert und
> habe jetzt eine Lösungsidee:
>
> [mm]x_{0}[/mm] >= [mm]\wurzel[]{a}[/mm]
>
> [mm]x_{n+1}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}(x_{n}[/mm] + [mm]\bruch{a}{x_{n}}) \ge \wurzel[]{x_{n} * \bruch{a}{x_{n}}}[/mm]
> = [mm]\wurzel[]{a}[/mm]
>
> Also gilt es für [mm]x_{n}[/mm] und [mm]x_{n+1}[/mm] also für alle [mm]x_{n}[/mm]
>
> Kann man das so beweisen?
>
> Also das war jetzt eine Aufgabe, aber bei der geposteten
> gehts ja dann ganz genauso. Man muss nur die Ungleichung
> vom a. und g. Mittel auf
> [mm]\bruch{1}{3}[/mm] ( [mm]x_{n}[/mm] + [mm]x_{n}[/mm] + [mm]\bruch{a}{x_{n}²}[/mm] anwenden.
> dann kommt [mm]\wurzel[3]{a}[/mm] bei raus.
Hallo,
in der Tat scheint das die Lösung zu sein - ich fürchte, von allein wäre ich nicht drauf gekommen.
Gruß v. Angela
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