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| Aufgabe | Beweisen Sie die folgenden Gleichungen:
a) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^{k}}{a^{n}} [/mm] = 0 (a > 1)
b) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{a^{n}}{n!} [/mm] = 0 (a [mm] \in \IR) [/mm] |
Hallo, kann mir jemand helfen, diese Grenzwerte zu beweisen?
Ich habe versucht es mit der Epsilon-Definition zu machen, bin aber daran gescheitert, nach n aufzulösen. Gibt es da noch andere Methoden?
Gruß Matze
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:39 Di 10.01.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo pizzatonno!
Diese Aufgabe wurde (sehr ähnlich) hier bereits vor einigen Tagen gestellt ...
Bei Aufgabe 1 kannst Du den  Grenzwertsatz nach de l'Hospital $k_$-mal anwenden, da Du jeweils den Ausdruck [mm] $\bruch{\infty}{\infty}$ [/mm] erhältst.
Bei Aufgabe 2 zunächst den Ausdruck umschreiben:
[mm] $\bruch{a^{n}}{n!} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\overbrace{a*a*a*...*a*a}^{n \ Faktoren}}{\underbrace{1*2*3*...*(n-1)*n}_{n \ Faktoren}} [/mm] \ = \ [mm] \underbrace{\bruch{a}{1}*\bruch{a}{2}* \bruch{a}{3}*...*\bruch{a}{n-1}* \bruch{a}{n}}_{n \ Faktoren}$
[/mm]
Nun Grenzwertbetrachtung ...
Gruß
Loddar
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Hallo Loddar,
Vielen Dank für die schnelle Antwort!
Hab dein Tipp ausprobiert und bin auf folgende Ergebnisse gekommen:
a) nach k-fachem anwenden von L'Hospital:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{k!}{n!} [/mm] = 0
b) gut...mit deinem Tipp*g* - Danke!
Stimmt die Teilaufgabe a) soweit?
Gruß Pizzatonno
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:33 Mi 11.01.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo pizzatonno!
Wie kommst Du auf den Nenner des Bruches? Ich denke, da hast Du jeweils falsch die Ableitung gebildet.
[mm] $\left( \ a^x \ \right)' [/mm] \ = \ [mm] \ln(a)*a^x$
[/mm]
Was erhältst Du also nach $k_$-mal ableiten?
Gruß
Loddar
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