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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:02 Mi 18.06.2008 | | Autor: | mathmix |
| Aufgabe | Beweisen Sie:
[mm]\emptyset \subset A, A \cup \emptyset = A, A \cap \emptyset = \emptyset[/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo zusammen,
übungsweise wollte ich mich mal der oben genannten Aufgabe annehmen, jedoch bin ich mir sehr unsicher mit der Formulierung der Beweise. Deshalb bin ich über jeden Verbesserungsvorschlag sehr dankbar. Hier meine Ansätze:
Zu zeigen ist [mm]\emptyset \subset A[/mm].
[mm]x \in \emptyset \Rightarrow x \in A[/mm] gilt als wahr, da [mm]x \in \emptyset[/mm] falsch ist. (Reicht dieser Beweis?)
Zu zeigen ist [mm]A \cup \emptyset = A[/mm].
Es sei [mm]x \in A \cup \emptyset[/mm].
Nach Definition der Vereinigungsmenge folgt [mm]x \in A[/mm] oder [mm]x \in \emptyset[/mm].
Also ist [mm]x \in A[/mm].
Zu zeigen ist [mm]A \cap \emptyset = \emptyset[/mm]. Dies ist gleichbedeutend wie [mm]A \cap \emptyset \subset \emptyset[/mm] und [mm]\emptyset \subset A \cap \emptyset[/mm].
Es sei [mm]x \in A \cap \emptyset[/mm].
Nach Definition der Schnittmenge folgt [mm]x \in A[/mm] und [mm]x \in \emptyset[/mm].
Da [mm]\emptyset \subset A[/mm] wahr ist, ist [mm]\emptyset \subset A \cap \emptyset[/mm] ebenfalls wahr.
Wie kann ich [mm]A \cap \emptyset \subset \emptyset[/mm] beweisen?
Vielen Dank im voraus.
LG
MathMix
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:25 Mi 18.06.2008 | | Autor: | dormant |
Hi!
> Zu zeigen ist [mm]\emptyset \subset A[/mm].
> [mm]x \in \emptyset \Rightarrow x \in A[/mm]
> gilt als wahr, da [mm]x \in \emptyset[/mm] falsch ist. (Reicht
> dieser Beweis?)
Das ist einfach falsch und reicht daher als Beweis nicht. Wenn eine Implikation nicht wahr ist, bedeutet es nicht, dass die negierten Voraussetzungen wahr sind. Am Einfachsten benutzt man, dass der Schnitt aus A und [mm] \emptyset [/mm] die leere Menge ist.
> Zu zeigen ist [mm]A \cup \emptyset = A[/mm].
> Es sei [mm]x \in A \cup \emptyset[/mm].
>
> Nach Definition der Vereinigungsmenge folgt [mm]x \in A[/mm] oder [mm]x \in \emptyset[/mm].
>
> Also ist [mm]x \in A[/mm].
Das reicht nicht. Mach's über die [mm] \subset [/mm] und [mm] \supset [/mm] Beweisführung.
> Zu zeigen ist [mm]A \cap \emptyset = \emptyset[/mm]. Dies ist
> gleichbedeutend wie [mm]A \cap \emptyset \subset \emptyset[/mm] und
> [mm]\emptyset \subset A \cap \emptyset[/mm].
> Es sei [mm]x \in A \cap \emptyset[/mm].
>
> Nach Definition der Schnittmenge folgt [mm]x \in A[/mm] und [mm]x \in \emptyset[/mm].
>
> Da [mm]\emptyset \subset A[/mm] wahr ist, ist [mm]\emptyset \subset A \cap \emptyset[/mm]
> ebenfalls wahr.
OK. Für die andere Richtung nehme an es gibt ein x aus dem Schnitt [mm] A\cap\emptyset [/mm] (das bedeutet [mm] x\in [/mm] A und [mm] x\in\emptyset), [/mm] so dass [mm] x\notin\emptyset. [/mm] Der Widerspruch steht dann schon da, also gibt es kein solches x. Mit diesem Ergebnis kannst du auch die erste Übungsaufgabe lösen.
Gruss,
dormant
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