Beweis von Mengengleichheit < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:54 Mo 23.10.2006 | | Autor: | mrdca |
| Aufgabe | | (M [mm] \cup [/mm] N) \ (M [mm] \cap [/mm] N)=( M \ N) [mm] \cup [/mm] (N \ M) |
Ich wollte beweisen, dass diese Gleichung für alle Mengen M und N gilt.
Also vom Sinn her ist es klar und durch skizzieren sieht man es auch sofort.
Ich habe mir überlegt, dass x [mm] \in (M\cupN) [/mm] sein muss und x [mm] \not\in (M\capN).
[/mm]
dann ist noch x [mm] \in (M\N) [/mm] und x [mm] \in (N\M).
[/mm]
Aber jetzt die Frage wie ich das richtig als Beweis aufschreiben kann.
Danke schonmal im Vorraus.
MrDCA
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:12 Di 24.10.2006 | | Autor: | der_emu |
Also generell einfach die Mengenoperationen bzw. Symbole mithilfe der Definitionen in logische Sprache umwandeln und dann die logischen Gesetze anwenden um von den einen zu dem anderen zu kommen...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:13 Di 24.10.2006 | | Autor: | der_emu |
eine andere möglichkeit wäre noch wenn du einfach die mengentafel aufzeichnest... weiß aber nciht ob das bei dir als beweis angeshen wird...
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> (M [mm]\cup[/mm] N) \ (M [mm]\cap[/mm] N)=( M \ N) [mm]\cup[/mm] (N \ M)
> Ich wollte beweisen, dass diese Gleichung für alle Mengen
> M und N gilt.
> Also vom Sinn her ist es klar und durch skizzieren sieht
> man es auch sofort.
> Aber jetzt die Frage wie ich das richtig als Beweis
> aufschreiben kann.
Hallo,
daß Du eine einleuchtende Skizze hast, ist gut!
Der Beweis geht so:
1. Du nimmst Dir ein beliebiges x [mm] \in [/mm] (M [mm] \cup [/mm] N) \ (M [mm] ]\cap [/mm] N) und zeigst, daß es auch in ( M \ N) [mm] \cup [/mm] (N \ M) liegt.
Dann hast Du (M [mm]\cup[/mm] N) \ (M [mm]\cap[/mm] N) [mm] \subseteq [/mm] ( M \ N) [mm]\cup[/mm] (N \ M) gezeigt.
2.Anschließend zeigst Du ( M \ N) [mm]\cup[/mm] (N \ M) [mm] \subseteq [/mm] (M [mm] \cup [/mm] N) \ (M [mm] \cap [/mm] N).
Insgesamt hast Du dann die Gleichheit der Mengen.
Wie geht das?
1. Sei x [mm] \in [/mm] (M [mm] \cup [/mm] N) \ (M [mm] \cap [/mm] N)
==> x [mm] \in [/mm] (M [mm] \cup [/mm] N) und x [mm] \not\in [/mm] (M [mm] \cap [/mm] N)
==> (x [mm] \in [/mm] M oder x [mm] \in [/mm] N) und x [mm] \not\in [/mm] (M [mm] \cap [/mm] N)
==> ( x [mm] \in [/mm] M und x [mm] \not\in [/mm] (M [mm] \cap [/mm] N)) oder (x [mm] \in [/mm] N und x [mm] \not\in [/mm] (M [mm] \cap [/mm] N))
==>(x [mm] \in [/mm] M \ N) oder (x [mm] \in [/mm] N \ M)
==> Beh.
Nun der zweite Teil für dich!
Gruß v. Angela
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