Beweis von Monotonie < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 06:54 Sa 19.04.2008 | | Autor: | miamias |
| Aufgabe | | Es sei f: [mm] \IR \to \IR [/mm] stetig. Zeige, dass jede Lösung der Differentialgleichung x' = f(x) monoton ist. |
Hallo,
diese Aufgabe soll angeblich recht leicht sein, aber ich steh da trotzdem auf der Leitung. Wäre klasse wenn mir da jemand einen Tipp geben könnte, wie man da weiter kommt, da ich bisher noch keinen guten Ansatz gefunden hab.
mfg
miamias
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> Es sei f: [mm]\IR \to \IR[/mm] stetig. Zeige, dass jede Lösung der
> Differentialgleichung x' = f(x) monoton ist.
> Hallo,
> diese Aufgabe soll angeblich recht leicht sein, aber ich
> steh da trotzdem auf der Leitung. Wäre klasse wenn mir da
> jemand einen Tipp geben könnte, wie man da weiter kommt, da
> ich bisher noch keinen guten Ansatz gefunden hab.
Hallo,
wenn man x nach x ableitet, kommt 1 heraus.
Oder verstehe ich die Aufgabe irgendwie falsch?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:57 Sa 19.04.2008 | | Autor: | miamias |
Also ich denke dass ich vergessen habe zumsagen, dass x eine Funktion ist. sodass: x'(t) = f(x(t)) gelten sollte.
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Mit x(f) meinst du die Umkehrfunktion, oder?
Dann ist es wirlich ganz einfach, wenn man sich in Erinnerung ruft, dass die Ableitung der Umkehrfunktion [mm] x'(f)=\frac{1}{f'(x)} [/mm] ist.
Dann folgt nämlich:
x'(f)=f(x)
[mm] \frac{1}{f'(x)}=f(x)
[/mm]
1=f*f'
[mm] \frac{df}{dx}=\frac{1}{f}
[/mm]
f*df=dx
[mm] \frac{f^2}{2}=x+Konstante
[/mm]
Das löse man nach f aus und leite es einmal ab, wobei man
f(x)=+/- [mm] \frac{\sqrt 2}{2\sqrt{x+Konstante)}}\not=0 [/mm] erhält. Stetigkeit vorrausgesetzt hat sie so keine Extrema und ist monoton.
Oder man überlegt sich, dass durch [mm] \frac{f^2}{2}=x+Konstante [/mm] nur eine Funktion eindeutig definiert ist, wenn f>=0 oder f<=0. Dann muss man immer , aufgrund der Monotonie von [mm] f^2, [/mm] wenn man x erhöht, f erhöhen (f>=0) bzw. erniedrigen (f<=0), um die die Gleichheit zu wahren. Somit ist f monoton.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:06 Sa 19.04.2008 | | Autor: | miamias |
also x'(t) soll keine Umkehrfunktion sein sondern eine Ableitung von x. Also sodass gilt: [mm] \bruch{dx(t)}{dt} [/mm] = f(x(t)). Die restliche Angabe steht ja oben (genauso wie ich sie erhalten habe).
Vielen Dank für eure Bemühungen.
mfG
miamias
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Ja, natürlich ist x' eine Ableitung. Ich meinte, soll x die Umkehrfunktion von f darstellen und x' dann die Ableitung dieser? Wenn ja, s.o.
Wenn [mm] \bruch{dx(t)}{dt}= [/mm] f(x(t)), dann wäre x'=f(x) ja dasselbe wie f(x)=f(x), wo f sicherlich nicht monoton sein muss.
Wenn [mm] \bruch{dx(t)}{dt}=f'(x(t)), [/mm] dann hieße es f'(x)=f(x). Also [mm] f(x)=Konstante*e^x.
[/mm]
Konstante>0: (streng) monoton steigend
Konstante<0: (streng) monoton fallend
Konstante=0: y=0 -->monoton/konstant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:35 Sa 19.04.2008 | | Autor: | miamias |
| Aufgabe 1 | | Aufgabe 2 | | Es sei f: [mm] \IR \to \IR [/mm] stetig. Zeige, dass jede Lösung der Differentialgleichung x' = f(x) monoton ist. |
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das heisst doch dass x(t) das Argument einer stetigen Funktion ist, und dass die Funktion f die Ableitungsvorschrift ist. Also diejenige die x(t) auf x'(t) abbildet. und wieso sind jetzt sämtliche Lösungen dieser Gleichung monoton. Es ist doch lediglich gegeben, dass f also die Ableitungsvorschrift stetig ist. Oder irr ich mich da?
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Vielleicht so?
f(x(t))
Die Umkehrfunktion davon ist x(t) (f) und davon die Ableitung x'(t)(f)=x'
Also [mm] \frac{d}{dx}f^{-1}(x(t))=\frac{1}{f'(x(t))}=x'(t)=f(x(t)) [/mm] und dann wie im ersten Post?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:36 Sa 19.04.2008 | | Autor: | miamias |
Ja jetzt versteh ich das auch. Sorry ich bin da jetzt mal richtig auf der Leitung gestanden. Ich geh mal davon aus, dass du im ersten Post in der ersten Zeile x(t) und nicht x(f) meinst. Ansonsten klar: x ist die Umkehrfunktion von f, wenn f die Ableitungsfunktion ist.
Ja danke für deine Gedult und deine Bemühungen.
mfg
miamias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:11 Sa 19.04.2008 | | Autor: | Woaze |
Könnte man mir den Beweis bitte noch etwas deuten, schließlich benützt du ja die Monotonie als Vorraussetzung dafür, um Monotonie raus zu bekommen?????
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> Könnte man mir den Beweis bitte noch etwas deuten,
> schließlich benützt du ja die Monotonie als Vorraussetzung
> dafür, um Monotonie raus zu bekommen?????
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Ich denke mal, daß hier alles Deuten nichts nützt aus dem Grund, den Du nennst: die Beweisführung ist verkehrt.
Gruß v. Angela
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> Mit x(t) meinst du die Umkehrfunktion, oder?
> Dann ist es wirlich ganz einfach,
Hallo,
in der Aufgabe steht nichts davon, daß vorausgesetzt ist, daß x die Umkehrfunktion von f ist.
Es geht darum, zu zeigen, daß jede Funktion x, die die Gleichung löst, monoton ist.
Gruß v. Angela
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Jetzt ist mir was eingefallen:
x'(t)=f(x(t))
[mm] \frac{dx}{dt}=f(x(t))
[/mm]
[mm] \int{\frac{dx}{f(x(t))}}=\int{dt}+C=t+C
[/mm]
Jetzt nach t ableiten:
[mm] \frac{d}{dt}\int{\frac{dx}{f(x(t))}}=\frac{dt}{dt}=1
[/mm]
[mm] \frac{d}{dt}F(x(t))=1 [/mm] <-- Kettenregel
$ F'(x(t))*x'(t)=1 $
[mm] \frac{1}{f(x(t))}*x'(t)=1
[/mm]
Wenn x nun nicht monoton wäre, hätte es aufgrund von Stetigkeit mindestens 1 Extrema und dort gilt [mm] x'(t_0)=0. [/mm] Setzen wir das nun also ein, ergibt sich:
0=1
Dies ist eine falsche Aussage, somit existiert keine [mm] t_0, [/mm] für das [mm] x'(t_0)=0 [/mm] gilt, mithin ist x monoton.
(Dieser Beweis setzt jetzt allerdings noch die Differenzierbarkeit von x voraus.)
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