Beweis von lemma < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:41 Mi 08.04.2009 | | Autor: | Zwille |
| Aufgabe | | Die abgeschlossene, konvexe Hülle einer kompakten Menge in einem Banachraum ist kompakt. |
Wie gehe ich hier an den Beweis ran. Wo fange ich an und was muss ich alles bedenken bzw. worauf muss ich eingehen. Danke für alle Hilfestellungen
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> Die abgeschlossene, konvexe Hülle einer kompakten Menge in
> einem Banachraum ist kompakt.
> Wie gehe ich hier an den Beweis ran. Wo fange ich an
Hallo,
wie und wo Du beginnst, solltest eigentlich Du lt. Forenregeln uns zeigen,
am besten vorher sagen, was genau zu zeigen ist.
Sag doch erstmal, was Du Dir überlegt hast, wie Du begonnen hast und wo die Probleme liegen.
Falls Dir die Begriffe (abgeschlossen, konvex, Hülle, kompakt, Banachraum) nicht klar sind, solltest Du mit dem Heraussuchen der Definitionen beginnen.
Gruß v. Angela
> und
> was muss ich alles bedenken bzw. worauf muss ich eingehen.
> Danke für alle Hilfestellungen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:53 Mi 08.04.2009 | | Autor: | Zwille |
Hallo,
ich weiß, dass ich die Probleme erläutern soll. Die Begriffe sind mir soweit alle klar, nur weiß ich leider keinen Ansatz. Das ist mein Problem.
Wir haben ja als Voraussetzung einen Banachraum, d.h. wir haben einen normierten Vektorraum, der vollständig ist, d.h. jede cauchyfolge in ihm konvergiert.
Z.z. Kompaktheit, d.h. jede Folge in der Menge hat ihren Grenzwert in der Menge.
Aber wie fange ich an?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:00 Mi 08.04.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
> ich weiß, dass ich die Probleme erläutern soll. Die
> Begriffe sind mir soweit alle klar, nur weiß ich leider
> keinen Ansatz. Das ist mein Problem.
>
> Wir haben ja als Voraussetzung einen Banachraum, d.h. wir
> haben einen normierten Vektorraum, der vollständig ist,
> d.h. jede cauchyfolge in ihm konvergiert.
> Z.z. Kompaktheit, d.h. jede Folge in der Menge hat ihren
> Grenzwert in der Menge.
Unsinn ! Was sagtest Du: "Die Begriffe sind mir soweit alle klar"
Na, na, darf man lügen ?
Schau nochmal nach:"kompakt", "abgeschlossen", ................
FRED
>
> Aber wie fange ich an?
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:18 Mi 08.04.2009 | | Autor: | Zwille |
Dann formuliere ich es mal anders:
kann mir jemand erklären, wie genau eine abgeschlossene, konvexe hülle aussieht?
Def. der Konvexen Hülle und Def. abgeschlossene Hülle habe ich vor mir liegen, aber wie sieht dann eine abgeschlossene, konvexe hülle aus, wenn die konvexe hülle:
conv(X) = [mm] {\summe_{i=1}^{n} \lambda_{i} x_{j} : \summe_{i=1}^{n} \lambda_{j} = 1 , \lambda \in \IR_{+}, x_{j} \in X}
[/mm]
und abgeschlossene Hülle:
[mm] \overline{X} [/mm] := X [mm] \cup \partial [/mm] X
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:22 Mi 08.04.2009 | | Autor: | fred97 |
> Dann formuliere ich es mal anders:
> kann mir jemand erklären, wie genau eine abgeschlossene,
> konvexe hülle aussieht?
Das ist die abgeschlossene Hülle der konvexen Hülle.
Ist M also eine Teilmenge des Banachraumes, so ist die abgeschlossene konvexe Hülle von M =
[mm] \overline{conv(M)}
[/mm]
FRED
>
> Def. der Konvexen Hülle und Def. abgeschlossene Hülle habe
> ich vor mir liegen, aber wie sieht dann eine
> abgeschlossene, konvexe hülle aus, wenn die konvexe hülle:
>
> conv(X) = [mm]{\summe_{i=1}^{n} \lambda_{i} x_{j} : \summe_{i=1}^{n} \lambda_{j} = 1 , \lambda \in \IR_{+}, x_{j} \in X}[/mm]
>
> und abgeschlossene Hülle:
> [mm]\overline{X}[/mm] := X [mm]\cup \partial[/mm] X
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:29 Mi 08.04.2009 | | Autor: | Zwille |
Bleibt denn beim Bilden der konvexen Hülle die Kompaktheit (d.h. totalbeschränkt und vollständig, zumindest im normierten Raum/Banachraum) erhalten? Und wenn ja, wie zeige ich dieses?
Zur Vollständigkeit: Da ich nur den Abschluss betrachte und dieser im Banachraum liegt, der vollständig ist, ist die abgeschlossene konvexe hülle vollständig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:38 Mi 08.04.2009 | | Autor: | fred97 |
> Bleibt denn beim Bilden der konvexen Hülle die Kompaktheit
> (d.h. totalbeschränkt und vollständig, zumindest im
> normierten Raum/Banachraum) erhalten? Und wenn ja, wie
> zeige ich dieses?
Das ist doch im wesentlichen Deine Aufgabe !
>
> Zur Vollständigkeit: Da ich nur den Abschluss betrachte und
> dieser im Banachraum liegt, der vollständig ist, ist die
> abgeschlossene konvexe hülle vollständig?
Nimm mal eine Cauchyfolge [mm] (x_n) [/mm] aus der abgeschlossenen konvexen Hülle .
Da ein Banachraum vorliegt hat [mm] (x_n) [/mm] einen Grenzwert [mm] x_0. [/mm] Da die abgeschlossene konvexe Hülle abgeschlossen ist, liegt [mm] x_0 [/mm] in dieser abgeschlossenen konvexen Hülle .
FRED
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