Beweis zu Partialbruchzerlegun < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:57 So 22.04.2012 | | Autor: | Pia90 |
Hallo zusammen,
ich hänge gerade bei folgendem Beweis und zwar soll ich zeigen, dass
[mm] q(a_i)=\alpha_i *\produkt_{j=1}^{n} (a_i-a_j) [/mm] und j [mm] \not= [/mm] i
Dabei darf ich verwenden, dass [mm] \bruch{q(x)}{(x-a_1)\ldots(x-a_n)}= \bruch{\alpha_1}{x-a_1} [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] \bruch{\alpha_n}{x-a_n}
[/mm]
Ich denke, dass ich hierbei eigentlich nur umformen muss und für x [mm] a_i [/mm] einsetzen, aber ich bekomms dennoch irgendwie nicht hin...
Also bisher hab ich folgendes:
[mm] \bruch{q(x)}{(x-a_1)\ldots(x-a_n)}= \bruch{\alpha_1}{x-a_1} [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] \bruch{\alpha_n}{x-a_n}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] q(x)= [mm] \bruch{\alpha_1 * \produkt_{j=1}^{n} (x-a_j)}{x-a_1} [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] \bruch{\alpha_n * \produkt_{i=1}^{n} (x-a_j)}{x-a_n}
[/mm]
[mm] \gdw \alpha_1 [/mm] * [mm] \produkt_{j=1}^{n} (x-a_j) [/mm] + ... + [mm] \alpha_n \produkt_{j=1}^{n} (x-a_j) [/mm] (und beim ersten Produkt noch j [mm] \not=1 [/mm] und beim letzten j [mm] \not= [/mm] n
Aber irgendwie krieg ich damit jetzt nicht das hin, was ich zeigen soll...
Kann mir jemand weiterhelfen?
Vielen Dank schonmal und liebe Grüße!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:22 Mo 23.04.2012 | | Autor: | Pia90 |
Ich könnte immer noch ein wenig Hilfe gebrauchen... Die Frage ist also durchaus noch aktuell!
Also falls jemand einen Tipp oder eine Anmerkung für mich hat, würde mir das schon sehr helfen!
Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:08 Di 24.04.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> ich hänge gerade bei folgendem Beweis und zwar soll ich
> zeigen, dass
> [mm]q(a_i)=\alpha_i *\produkt_{j=1}^{n} (a_i-a_j)[/mm] und [mm]j \not=i[/mm]
>
>
> Dabei darf ich verwenden, dass
> [mm]\bruch{q(x)}{(x-a_1)\ldots(x-a_n)}= \bruch{\alpha_1}{x-a_1} + \ldots + \bruch{\alpha_n}{x-a_n}[/mm]
>
> Ich denke, dass ich hierbei eigentlich nur umformen muss
> und für x [mm]a_i[/mm] einsetzen, aber ich bekomms dennoch
> irgendwie nicht hin...
>
> Also bisher hab ich folgendes:
> [mm]\bruch{q(x)}{(x-a_1)\ldots(x-a_n)}= \bruch{\alpha_1}{x-a_1} + \ldots + \bruch{\alpha_n}{x-a_n}[/mm]
> [mm]\gdw q(x)= \bruch{\alpha_1 * \produkt_{j=1}^{n} (x-a_j)}{x-a_1} + \ldots + \bruch{\alpha_n * \produkt_{i=1}^{n} (x-a_j)}{x-a_n}[/mm]
>
> [mm]\gdw \alpha_1 * \produkt_{j=1}^{n} (x-a_j) + ... + \alpha_n \produkt_{j=1}^{n} (x-a_j)[/mm]
> (und beim ersten Produkt noch [mm]j \not=1[/mm] und beim letzten [mm]j\not=n[/mm]
und bei den Produkten dazwischen auch jeweils ein [mm]j\not= \dots[/mm] , also
[mm] \summe_{i=1}^n \left(\alpha_i \produkt_{\substack{j=1\\j\not=i}}^{n} (x-a_j) \right) [/mm].
> Aber irgendwie krieg ich damit jetzt nicht das hin, was ich
> zeigen soll...
> Kann mir jemand weiterhelfen?
Überleg dir folgendes: in welchen der n Summanden kommt der Faktor [mm] $(x-a_1)$ [/mm] vor?
Denn wenn du [mm] $q(a_1)$ [/mm] ausrechnest, wird daraus [mm] $(a_1-a_1)=0$ [/mm] und diese Summanden fallen weg.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:49 Di 24.04.2012 | | Autor: | Pia90 |
Vielen Dank erstmal!
Wenn ich das jetzt richtig verstanden habe, dann fallen alle Summanden, bis auf den j=i-ten sowieso weg, weil dort immer eine Null im Produkt entsteht. Ich hoffe ich hab verständlich ausgedrückt, was ich meine, mir fällt es noch schwer es formal richtig auszudrücken. Ist das richtig?
Viele Grüße!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:16 Di 24.04.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Wenn ich das jetzt richtig verstanden habe, dann fallen
> alle Summanden, bis auf den j=i-ten sowieso weg, weil dort
> immer eine Null im Produkt entsteht.
Genau.
> Ich hoffe ich hab
> verständlich ausgedrückt, was ich meine, mir fällt es
> noch schwer es formal richtig auszudrücken. Ist das
> richtig?
Wenn du in
[mm] q(x) = \summe_{k=1}^n \left(\alpha_ki \produkt_{\substack{j=1\\j\not=k}}^{n} (x-a_j) \right) [/mm]
[mm] $x=a_i$ [/mm] einsetzt, hast du
[mm] q(a_i) = \summe_{k=1}^n \left(\alpha_k \produkt_{\substack{j=1\\j\not=k}}^{n} (a_i-a_j) \right) [/mm]
Jetzt ziehe ich aus der Summe den Term mit $k=i$ heraus:
[mm] q(a_i) = \alpha_i \produkt_{\substack{j=1\\j\not=i}}^{n} (a_i-a_j) + \summe_{\substack{k=1\\k\not=i}}^n \left(\alpha_k \produkt_{\substack{j=1\\j\not=k}}^{n} (a_i-a_j) \right) [/mm]
Der erste Term ist der gesuchte. In der verbleibenden Summe läuft der Multiplikationsindex j durch die Indexmenge [mm] $\{1,\dots,k-1,k+1,\dots,n\}$, [/mm] und da [mm] $k\not=i$ [/mm] ist, muss i darin vorkommen.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:25 Di 24.04.2012 | | Autor: | Pia90 |
Vielen lieben Dank! Dann hab ichs nun verstanden :)
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