Beweis zu stetigen Fkten < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:36 Di 20.06.2006 | | Autor: | sclossa |
| Aufgabe | Beweis zu:
Jede in einem kompakten Intervall stetige Funktion ist beschränkt und nimmt ihr Maximum und Minimum an. |
Der Anfang vom Beweis ist mir klar.
Sei A:=sup{f(x), x [mm] \in [/mm] [a,b]} [mm] \in \IR [/mm] {oo}
( A=oo fals f nicht nach oben beschränkt ist)
Dann existiert eine Folge Xn [mm] \in [/mm] [a,b], n [mm] \in [/mm] N mit
lim f(Xn) = A.
Da die Folge beschränkt ist besitzt sie nach Bolzana Weierstraß eine
konvergente Teilfolge (Xnk) mit
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} [/mm] Xnk =: p [mm] \in [/mm] [a,b]
Mit der Stetigkeit folgt somit:
f(p) = [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} [/mm] f(Xnk) = A, insbesondere A [mm] \in \IR.
[/mm]
Also ist f nach oben beschränkt und nimmt in p ihr Maximum an.
Ich kann alles nachvollziehen, nur das Schluss bereitet mir Probleme. Warum muss A [mm] \in \IR [/mm] sein??? Wie begründet man das? Kann mir jemand die vorletzte Zeile mal etwas erklären?
Danke Sclossa
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Hallo Sclossa,
> Beweis zu:
> Jede in einem kompakten Intervall stetige Funktion ist
> beschränkt und nimmt ihr Maximum und Minimum an.
> Der Anfang vom Beweis ist mir klar.
>
> Sei A:=...
> ( A=oo fals f nicht nach oben beschränkt ist)
> Dann existiert eine Folge Xn [mm]\in[/mm] [a,b], n [mm]\in[/mm] N mit
> lim f(Xn) = A.
> Da die Folge beschränkt ist besitzt sie nach Bolzana
> Weierstraß eine
> konvergente Teilfolge (Xnk) mit
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}[/mm] Xnk =: p [mm]\in[/mm] [a,b]
> Mit der Stetigkeit folgt somit:
> f(p) = [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}[/mm] f(Xnk) = A,
> insbesondere A [mm]\in \IR.[/mm]
> Also ist f nach oben beschränkt
> und nimmt in p ihr Maximum an.
>
> Ich kann alles nachvollziehen, nur das Schluss bereitet mir
> Probleme. Warum muss A [mm]\in \IR[/mm] sein??? Wie begründet man
> das? Kann mir jemand die vorletzte Zeile mal etwas
> erklären?
Die Maximalfolge [mm] $x_{n_k}$ [/mm] konvergiert aufgrund von Bolzano-Weierstraß gegen einen punkt [mm] $p\in [/mm] [a,b]$. Da f auf $[a,b]$ stetig ist, muß es einen wohldefinierten funktionswert [mm] $f(p)\in \IR$ [/mm] geben, so dass [mm] $\lim_{x_{n_k}\to \infty}f(x_{n_k})=f(p)$ [/mm] gilt. das ist einfach die definition der stetigkeit.
Gruß
Matthias
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