Beweis zur stetigen Funktion < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
G`nabend :)
Ich hätte da mal wieder nen klitzekleines Analysis-Problem, an dem ich verzweifele:
Es seien a,b [mm] \in \IR [/mm] mit a < b, und f : [a, b] [mm] \to [/mm] [a, b] sei stetig. Zeigen Sie, dass ein
c [mm] \in [/mm] [a, b] existiert mit f(c) = c.
Hinweis: Man betrachte g: g(x) = f(x) - x
Ich meine, dass ist mir schon einsichtig, dass so ein c existiert und es hätte mich auch sehr gewundert wenn nicht, aber wie beweist man das denn? Dieser "Hinweis" verwirrt mich mehr, als das er mir hilft, ich hab da nen bißchen rumgetüfftelt und rumgerechnet und statt x [a,b] bzw. c eingesetzt, aber der Groschen will nicht fallen. Ich hoffe ihr könnt mir da helfen,
hochachtungsvoll ;)
David
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:57 So 16.05.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo David Lynch
ich würde zuerst mal eine kleine Skizze machen.
Zeichne das x-y-Koordinatensystem. Wenn du bei $x=a$ und bei $x=b$ die Parallelen zur y-Achse ziehst, und bei $y=a$ und $y=b$ die Parallelen zur x-Achse, dann erhältst du im 1. Quadranten ein Quadrat, und der Graph deiner Funktion muss sich in diesem Quadrat befinden.
Wenn du nun den Graphen der Funktion in deinem Quadrat einzeichnest, dann siehst du, dass er den Graphen der Funktion $y=x$ in diesem Quadrat mindestens einmal schneidet (weil die Funktion stetig ist). Damit sollte mit Hilfe des Mittelwertsatzes die Behauptung zu zeigen sein. Besonders aufpassen musst du noch, falls du z.B. $f(a)=a$ setzt und den Graphen so zeichnest, dass er $y=x$ nicht schneidest. Dann brauchst du wohl noch die Abgeschlossenheit des betrachteten Intervalls [a,b] in die Ueberlegungen mit einzubeziehen. Bei $f(b)=b$ gilt das Entsprechende.
Um den Mittelwertsatz in seiner ursprünglichen Form anwenden zu können, solltest du einfach noch den Hinweis befolgen. Dann wird einfach die Funktion aus den oben dargelegten Ueberlegungen $y=x$ durch die Funktion $y=0$ ersetzt. Und das betrachtete Quadrat ist dann natürlich auch nicht mehr dort, wo es einst war!
Mit lieben Grüssen
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:31 Mo 17.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo David!
> G`nabend :)
> Ich hätte da mal wieder nen klitzekleines
> Analysis-Problem, an dem ich verzweifele:
>
> Es seien a,b [mm] \in \IR [/mm] mit a < b, und f : [a, b] [mm] \to [/mm] [a, b]
> sei stetig. Zeigen Sie, dass ein
> c [mm] \in [/mm] [a, b] existiert mit f(c) = c.
>
> Hinweis: Man betrachte g: g(x) = f(x) - x
Das ist doch genau der Zwischenwertsatz!
Korrektur: Das ist natürlich nicht der Zwischenwertsatz, denn für den Zwischenwertsatz "reicht" ein [mm] $\xi\in[a,b]$ [/mm] mit [mm] $f(\xi)=c$. [/mm] Trotzdem kann man den Nullstellensatz zum Beweis der obigen Behauptung benutzen.
Mit dem gegebenen Hinweis würde ich vermuten, dass Ihr den Nullstellensatz benutzen dürft:
Es sei [mm] $f:[a,b]\to\IR$ [/mm] eine stetige reelwertige Funktion auf dem abgeschlossenen Intervall [mm] $[a,b]\subseteq\IR$.
[/mm]
Haben $f(a)$ und $f(b)$ verschiedene Vorzeichen, so besitzt $f$ eine Nullstelle [mm] $x_0$ [/mm] im Intervall $[a,b]$, d.h. es gibt ein [mm] $x_0\in[a,b]$ [/mm] mit [mm] $f(x_0)=0$.
[/mm]
(Der Beweis wird mit einer Intervallschachtelung geführt.)
Wendet man diesen Satz auf dein $g$ oben an, so folgt die Behauptung sofort.
Schau' doch mal nach, ob ihr diesen Nullstellensatz benutzen dürft.
Viele Grüße,
Marc
|
|
|
| |
|
Also den Nullstellensatz hatten wir definitiv noch nicht, wir haben bislang nur (gleichmäßig) stetige Funktionen bzw. die Differentiation solcher durchgenommen, den Nullstellensatz im Gegensatz zum Mittelwertsatz dagegen nicht. Folglich werden wir den Nullstellensatz leider wohl auch nicht anwenden dürfen, obwohl der sich hier ja eigentlich optimal zum Beweis eignet. Schade.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:49 Di 18.05.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo,
aber ihr müsst den Zwischenwertsatz doch mal besprochen haben??
Analyis I...
Darauf gehe ich jede Wette ein. 
Liebe Grüße
Julius
|
|
|
|
