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| Aufgabe | Es seien x und y nichtnegative reelle Zahlen. Zeigen sie
[mm] \bruch{x+y}{2} \ge \wurzel{xy}
[/mm]
und
[mm] \bruch{x+y}{2} [/mm] = [mm] \wurzel{xy} \gdw [/mm] x=y |
Hallo zusammen,
obige Aufgabe ist eine Zusatzaufgabe unseres Hausaufgabenblattes.
Folgende Lösung habe ich dazu erstellt
Z.z. [mm] \bruch{x+y}{2} \ge \wurzel{xy} \forall [/mm] (x,y) [mm] \in \IR^{+}
[/mm]
(1.0) [mm] \bruch{x+y}{2} \ge \wurzel{xy}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \bruch{(x+y)^{2}}{4} \ge [/mm] xy
[mm] \gdw x^{2}+2xy+y^{2} \ge [/mm] 4xy
[mm] \gdw x^{2}-2xy+y^{2} \ge [/mm] 0
[mm] \gdw (x-y)^{2} \ge [/mm] 0 // wahre Aussage somit meines Erachtens fertig
Nun noch [mm] \bruch{x+y}{2} [/mm] = [mm] \wurzel{xy} \gdw [/mm] x=y
(1.1) [mm] "\Leftarrow"
[/mm]
Sei y=x
[mm] \bruch{x+x}{2} [/mm] = [mm] \wurzel{xx}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{2x}{2} [/mm] = [mm] \wurzel{x^{2}}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] x = x // wahre Aussage somit bewiesen
(1.2) [mm] "\Rightarrow"
[/mm]
[mm] \bruch{x+y}{2} [/mm] = [mm] \wurzel{xy}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] ... // Zwischenschritte wie bei (1.0)
[mm] \gdw [/mm] ...
[mm] \gdw [/mm] ...
[mm] \gdw (x-y)^{2} [/mm] = 0
an dieser stelle sage ich mit (1.1) wahre aussage und somit Aufgabe gelöst
Frage ist nun:
Kann ich das so machen? Denn bei (1.1) würde nach dem Radizieren doch eigentlich [mm] x=\pm [/mm] x rauskommen oder?
Hab das jetzt nur nicht hingeschrieben um die Aufgabe mal iwie zu lösen
Würde mich über tipps freuen da ich nicht wirklich weiß wie ich es anders machen soll...
Lg Martin
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Fällt nach dem Radizieren die negative Zahl weg da Definitionsmenge [mm] \IR^{+} [/mm] ist?
Dann müsste es doch eig passen oder?
Kam mir leider erst jetzt
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:52 So 19.10.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Fällt nach dem Radizieren die negative Zahl weg da
> Definitionsmenge [mm]\IR^{+}[/mm] ist?
>
> Dann müsste es doch eig passen oder?
>
> Kam mir leider erst jetzt
ich verstehe immer noch nicht den Sinn hinter der Frage. Es ist bspw.
[mm] $\sqrt{9}=3\,,$
[/mm]
und Aussagen wie
[mm] $\sqrt{9}=\pm [/mm] 3$
sind, solange wir uns an die üblichen Definition der (reellen) Wurzel einer
nichtnegativen reellen Zahl halten, unsinnig.
In [mm] $\IR$ [/mm] sagt man, dass für $p [mm] \ge [/mm] 0$
[mm] $\sqrt{p}$
[/mm]
diejenige nichtnegative reelle Zahl [mm] $w\,$ [/mm] mit [mm] $w^2=p$ [/mm] ist.
Sowas wie
[mm] $\sqrt{9}=-3$
[/mm]
kann daher nur Unsinn sein, denn seit wann ist [mm] $-3\,$ [/mm] nichtnegativ???
Und
[mm] $\sqrt{9}=\sqrt{3^2}=|3|$ [/mm] sowie [mm] $\sqrt{9}=\sqrt{(-3)^2}=|-3|$
[/mm]
zeigt dann sowas wie
[mm] $\sqrt{x^2}=|x|\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:49 So 19.10.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Es seien x und y nichtnegative reelle Zahlen. Zeigen sie
>
> [mm]\bruch{x+y}{2} \ge \wurzel{xy}[/mm]
>
> und
>
> [mm]\bruch{x+y}{2}[/mm] = [mm]\wurzel{xy} \gdw[/mm] x=y
> Hallo zusammen,
> obige Aufgabe ist eine Zusatzaufgabe unseres
> Hausaufgabenblattes.
> Folgende Lösung habe ich dazu erstellt
>
> Z.z. [mm]\bruch{x+y}{2} \ge \wurzel{xy} \forall[/mm] (x,y) [mm]\in \IR^{+}[/mm]
>
> (1.0) [mm]\bruch{x+y}{2} \ge \wurzel{xy}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \bruch{(x+y)^{2}}{4} \ge[/mm] xy
wichtiger ist hier, dass [mm] $\Leftarrow$ [/mm] gilt. Siehe auch
meinen Artikel über Folgerungsrichtungen in Beweisen.
Am einfachsten für Dich ist es, da erstmal [mm] $\gdw$ [/mm] hinzuschreiben. Mehr dazu später.
> [mm]\gdw x^{2}+2xy+y^{2} \ge[/mm] 4xy
> [mm]\gdw x^{2}-2xy+y^{2} \ge[/mm] 0
>
> [mm]\gdw (x-y)^{2} \ge[/mm] 0 // wahre Aussage somit meines
> Erachtens fertig
Ja, aber vielleicht mal, damit klar wird, was hier der eigentliche Beweis
ist:
Die Aussage
[mm] $(x-y)^2 \ge [/mm] 0$
ist offensichtlich wahr. Weiterhin gelten die Folgerungen
[mm] $(x-y)^2 \ge [/mm] 0$
[mm] $\Rightarrow$ $x^2-2xy+y^2 \ge [/mm] 0$
[mm] $\Rightarrow$ $x^2+2xy+y^2 \ge [/mm] 4xy$
[mm] $\Rightarrow$ $(x+y)^2 \ge [/mm] 4xy$
[mm] $\Rightarrow$ $(x+y)^2/4 \ge [/mm] xy$
Da für $a,b [mm] \ge [/mm] 0$ gilt
$a [mm] \ge [/mm] b$ [mm] $\iff$ $\sqrt{a} \ge \sqrt{b}\,,$
[/mm]
und hier [mm] $a:=(x+y)^2/4 \ge [/mm] 0$ und $b:=xy [mm] \ge [/mm] 0$ (letzteres wegen $x,y [mm] \ge [/mm] 0$) gilt,
folgt
[mm] $\sqrt{(x+y)^2/4} \ge \sqrt{xy}\,.$
[/mm]
Wegen $x,y [mm] \ge [/mm] 0$ ist [mm] $\sqrt{(x+y)^2}=|x+y|=x+y\,,$ [/mm] und zudem gilt [mm] $\sqrt{4}=2,$ [/mm] und
wir erhalten schlussendlich (auch wegen [mm] $\sqrt{r/s}=\sqrt{r}/\sqrt{s}$ [/mm] für nichtnegative
[mm] $r,s\,$ [/mm] mit $s > 0$)
$(x+y)/2 [mm] \ge \sqrt{xy}\,.$
[/mm]
> Nun noch [mm]\bruch{x+y}{2}[/mm] = [mm]\wurzel{xy} \gdw[/mm] x=y
>
> (1.1) [mm]"\Leftarrow"[/mm]
>
> Sei y=x
dann gilt
[mm] $\frac{x+y}{2}=\sqrt{xy}$
[/mm]
[mm] $\gdw$
[/mm]
>
> [mm]\bruch{x+x}{2}[/mm] = [mm]\wurzel{xx}[/mm]
>
> [mm]\gdw \bruch{2x}{2}[/mm] = [mm]\wurzel{x^{2}}[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] x = x // wahre Aussage somit bewiesen
Auch hier: Das letzte [mm] $\Rightarrow$ [/mm] bringt Dir nichts. Du brauchst an dieser
Stelle [mm] $\Leftarrow$, [/mm] am Besten schreibst Du einfach [mm] $\gdw$ [/mm] hin, denn die Folgerung
[mm] $\Leftarrow$ [/mm] ist auch gültig. Überlege Dir aber mal, wie Du den Beweis,
nachdem Du meine modifizierte Version Deines ersten Beweises gesehen
hast, selber hinschreiben kannst.
Übrigens hätte ich den Beweis hier anders gemacht, einfach, weil es dann
klarer ist, um was es geht:
Ist [mm] $y=x\,,$ [/mm] so gilt einerseits
[mm] $\frac{x+y}{2}=\frac{x+x}{2}=\frac{2x}{2}=x\,,$
[/mm]
und auch andererseits
[mm] $\sqrt{xy}=\sqrt{x^2}=|x|=x$ [/mm] (letzte Gleichheit wegen $x [mm] \ge [/mm] 0$)
und daher
[mm] $\frac{x+y}{2}=\sqrt{xy}\,.$
[/mm]
Ich schiebe übrigens gerade mal Deine Frage an die passende Stelle:
> Frage ist nun:
>
> Kann ich das so machen? Denn bei (1.1) würde nach dem
> Radizieren doch eigentlich [mm]x=\pm[/mm] x rauskommen oder?
> Hab das jetzt nur nicht hingeschrieben um die Aufgabe mal
> iwie zu lösen
Es gilt keineswegs [mm] $\sqrt{x^2}=\pm [/mm] x,$ wenn das hinter dieser Frage steckt.
Vielmehr gilt für jedes $x [mm] \in \IR$
[/mm]
[mm] $\sqrt{x^2}=|x|\,,$
[/mm]
und damit gilt insbesondere
[mm] $\sqrt{x^2}=x$ [/mm] genau dann, wenn $x [mm] \ge 0\,.$
[/mm]
Beachte auch, dass [mm] $\sqrt{x}\,^2$ [/mm] nur für $x [mm] \ge [/mm] 0$ hingeschrieben werden darf
(solange wir uns in [mm] $\IR$ [/mm] bewegen).
> (1.2) [mm]"\Rightarrow"[/mm]
Es gelte nun
> [mm]\bruch{x+y}{2}[/mm] = [mm]\wurzel{xy}[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] ... //
>
> Zwischenschritte wie bei (1.0)
> [mm]\gdw[/mm] ...
> [mm]\gdw[/mm] ...
> [mm]\gdw (x-y)^{2}[/mm] = 0
> an dieser stelle sage ich mit (1.1) wahre aussage
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Du sagst mir bitte vielmehr, warum
[mm] $(x-y)^2=0$ $\gdw$ $y=x\,$ [/mm] (Du brauchst hier eigentlich nur [mm] $\Rightarrow$)
[/mm]
gilt, und dann:
> und somit Aufgabe gelöst
Gruß,
Marcel
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