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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:17 Mi 27.10.2004 | | Autor: | Reaper |
Ich hab da eine Frage:
Um zu beweisen, dass [mm] \cap [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] ]0,1/n[ = [mm] \emptyset [/mm] muss man ja zeigen dass die linke Menge Teil der rechten ist sprich dass jedes
Element des rechten bzw. linken Graphen auch in der gegenüberliegenden Menge enthalten ist.
Hirbei gibt es 2 Fälle:
1. Fall [mm] \cap [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] ]0,1/n[ [mm] \subseteq \emptyset [/mm]
2.Fall [mm] \emptyset \subseteq \cap [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] ]0,1/n[
Beim 2. Fall muss ich ja beweisen dass die leere Menge auch Teilmenge in jedem Intervall von n [mm] \in \IN [/mm] ist. Was ja auch der Fall ist da die leere Menge auch Teilmenge jeder Menge ist.
Beim 1 Fall muss ich ja beweisen dass jedes Element in der leeren Menge
auch vorhanden ist. Und da hab ich irgendwie einen Knoten im Verständnis
drinnen. Ich kapier nicht wie das gehen soll da die leere Mengen sowieso leer ist und keine Elemente enthalten kann. Und wieso muss ich hierbei einen Widerspruchsbeweis durchführen, damit ich bewesien kann dass diese Aussage stimmt wenn sie so und so nicht stimmt.
Vielleicht kann mir jemand von euch auf die Sprünge helfen bei meinem Denkfehler?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:50 Mi 27.10.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Reaper,
> Um zu beweisen, dass [mm]\cap[/mm] n [mm]\in \IN[/mm] ]0,1/n[ = [mm]\emptyset[/mm]
> muss man ja zeigen dass die linke Menge Teil der rechten
> ist sprich dass jedes
> Element des rechten bzw. linken Graphen auch in der
> gegenüberliegenden Menge enthalten ist.
>
> Hirbei gibt es 2 Fälle:
> 1. Fall [mm]\cap[/mm] n [mm]\in \IN[/mm] ]0,1/n[ [mm]\subseteq \emptyset[/mm]
>
> 2.Fall [mm]\emptyset \subseteq \cap[/mm] n [mm]\in \IN[/mm] ]0,1/n[
Na ja, das ist etwas übertrieben, in diesem Fall, da die leere Menge beteiligt ist.
Der 2. Fall ist immer wahr, da die leere Menge Teilmenge jeder Menge ist, sogar Teilmenge der leeren Menge: [mm] $\emptyset\subseteq\emptyset$.
[/mm]
Es reicht hier zu zeigen, dass die linke Menge kein Element enthalten kann. Am einfachsten geht das mit einem Widerspruchsbeweis:
Angenommen, die linke Menge enthält das Element x, dann ist [mm] $x\in [/mm] ]0,1/n[$ für alle [mm] $n\in\IN$, [/mm] aber... nach dem Satz des Eudoxos gibt es...
Hilft das weiter?
Viele Grüße,
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:57 Mi 27.10.2004 | | Autor: | Reaper |
Also wenn ich das jetzt richtig verstanden habe dann muss ich zeigen dass
kein Element vom linken Term im rechten enthalten sein kann. Da dass
zu kompliziert ist wende ich den Widerspruchsbeweis an, in dem man annimmt das alle Element vom Linken Term im Rechten enthalten sind, oder?
Aber die Menge {} ist doch im rechten sowie linken Term enthalten,oder?
Ich kapierdas einfach noch nicht ganz.
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Hi Reaper,
du hast zwei Denkfehler in deiner Verständnisfrage.
1.) Bei der zu zeigenden Teilmengen-Eigenschaft musst du beweisen, dass alle Elemente dieser Durchschnittsmenge in der leeren Menge drin sind.
Weil die leere Menge nun man kein Element enthält, musst du also zeigen, dass der Durchschnitt ebenfalls kein Element hat.
Die Beweisidee geht so, dass du annimmst, es gäbe ein x>0 in deinem Durchschnitt. Es reicht jetzt, ein Intervall ]0;1/n[ anzugeben, in dem x nicht drin ist, denn dann kann es auch nicht mehr in der Durchschnittsmenge liegen. Damit ist gezeigt, dass kein x in Frage kommt, dass in der linken Menge liegt. Also ist der Durschnitt der Intervalle leer.
2.) Dein Verständnis von Gegenteil ist hier falsch.
Nimm an, du hast eine Menge von natürlichen Zahlen gegeben. Du sollst jetzt zeigen: keine Zahl dieser Mange ist durch 10 teilbar.
Das Gegenteil dieser Aussage ist dann nicht 'Alle Zahlen der Menge sind durch 10 teilbar', sondern 'Mindestens eine Zahl der Menge ist durch 10 teilbar' oder 'Es gibt in der Menge eine durch 10 teilbare Zahl'.
Das Gegenteil von Nichts ist nicht Alles, sondern mindestens Eines.
Analog ist das Gegenteil von Alles einfach 'Nicht alles'. Das heisst, wenn eine Aussage nicht für alle x gilt, dann gibt es (mindestens) ein x, für das die Aussage falsch ist.
Die Aussage 'Jedes Tier ist ein Elefant' ist nicht falsch, weil es gar keine Elefanten gibt, sondern weil es bei den Tieren auch Nicht-Elefanten, z.B. Ameisenbären, gibt.
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