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| Aufgabe | Seien [mm] $x_1, \ldots, x_n \geq [/mm] 0$ mit Rangwertreihe [mm] $x_{(1)}\leq \ldots \leq x_{(n)}$ [/mm] und [mm] $x_{(n)} [/mm] > 0$. Durch die Partialsummen [mm] $S_i [/mm] = [mm] \sum_{j=1}^{i}{x_{(j)}}, [/mm] 1 [mm] \leq [/mm] i [mm] \leq [/mm] n$, und
[mm] $$s_i [/mm] = [mm] \frac{i}{n}, \quad t_i [/mm] = [mm] \frac{S_i}{S_n}, \quad 1\leq [/mm] i [mm] \leq [/mm] n$$
wird eine Folge von Paaren (0,0), [mm] (s_1,t_1), \ldots, (s_n,t_n) [/mm] definiert. Durch diese Punkte wird mittels eines Polygonzugs die stetige Funktion
L:[0:1] [mm] \to [/mm] [0:1] definiert. Zeigen Sie:
a) L ist monton steigend und konvex
b) L(x) [mm] \leq [/mm] x, x [mm] \in [/mm] [0,1]
c) L(x) = x für alle x [mm] \in [/mm] [0,1] [mm] \gdw x_1 [/mm] = [mm] \ldots [/mm] = [mm] x_n [/mm] |
Erstmal sry für das komische Diskussionsthema, aber mir ist kein geeigneter Begriff eingefallen der diese Aufgabe beschreiben könnte.
Nun zu den Aufgaben:
a) L ist monoton steigend konnte ich zeigen
L ist konvex, dazu habe ich den Ansatz:
$L$ ist genau dann konvex falls gilt:
[mm] $$L(\tau s_i [/mm] + [mm] (1-\tau)t_i) \leq \tau L(s_i) [/mm] + [mm] (1-\tau)L(t_i)$$
[/mm]
An dieser Stelle sehe ich aber nicht wie ich das weiter umformen kann. Irgendwelche Eigenschaften wie z.b. Linearität die mir weiterhelfen könnten sind nicht gegeben.
b) L(x) [mm] \leq [/mm] x, x [mm] \in [/mm] [0,1]
d.h. es ist zu zeigen [mm] L(s_i) \leq s_i \forall s_i \in [/mm] [0,1]
und das ist äquivalent zu
[mm] $$t_i \leq s_i \forall s_i \in [/mm] [0,1]$$
Setzt man die bekannten Formeln ein erhält man die Ungleichung:
[mm] $$\frac{S_i}{S_n} \leq \frac{i}{n} \forall [/mm] i [mm] \in [/mm] [0,n]$$
Ersetzt man die [mm] S_i [/mm] durch die Summenschreibweise erhält man:
[mm] $$\frac{\sum_{j=1}^{i}{x_{(j)}}}{\sum_{j=1}^{n}{x_{(j)}},} \leq \frac{i}{n} \forall [/mm] i [mm] \in [/mm] [0,n]$$
und nu?
c) erschließt sich vielleicht wenn man b) gelöst hat.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Sa 08.05.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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