Beweise - Komplexe Zahlen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:07 Mo 24.10.2005 | | Autor: | dump_0 |
Hallo liebes Forum.
Heute war meine erste Vorlesung in Mathe (Lin.Alg.) und ich war erstmal ziemlich fertig als sie vorbei war. Ich bin jetzt seit 1 1/2 aus der Schule raus und hatte seitdem nie wieder Kontakt mit höhrerer Mathematik.
Auf jeden Fall kam zu alledem noch dazu das wir heute gleich ein Übungsblatt bekommen habe. Die Aufgaben da drauf verlangen nach Beweisen über komplexe Zahlen (habe heute das erste Mal davon gehört.).
Nunja, ich weiß weder wie ich einen Beweis führen soll, also die Form usw., noch habe ich eine Ahnung wie ich die Aufgaben lösen soll. Laut Aussagen einiger anderer Studenten höheren Semesters sollen diese Aufgaben "kinderleicht" sein.
Ich schreibe euch mal 2 auf, es wäre wirklich super wenn mir jemand bei meinen 2 Problemen anhand dieser Aufgaben helfen könnte :)
Aufgaben:
Beweisen Sie die folgenden Aussagen für alle z, z1, z2 [mm] \varepsilon \IC
[/mm]
Anmerkung: z' = z mit Oberstrich (also z konjugiert)
a) z1' + z2' = (z1 + z2)'
b) z = z' gilt genau dann, wenn z [mm] \varepsilon \IR
[/mm]
Das sind mal 2 Beispielaufgaben. Wie gesagt ich habe keine Ahnung was ich nun machen soll :(
Es wäre wirklich sehr nett wenn ihr mir helfen könntet :)
Grüße
[mm] dump_0
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:35 Mo 24.10.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Zur ersten Aufgabe:
Es seien [mm] $z_1 [/mm] = [mm] a_1 [/mm] + i [mm] b_1$ [/mm] und [mm] $z_2 [/mm] = [mm] a_2 [/mm] + [mm] ib_2$. [/mm]
Dann gilt:
[mm] $\overline{z_1} [/mm] + [mm] \overline{z_2}$
[/mm]
$= [mm] \overline{a_1 + ib_1} [/mm] + [mm] \overline{a_2 + ib_2}$
[/mm]
$= [mm] a_1 [/mm] - [mm] ib_1 [/mm] + [mm] a_2 [/mm] - [mm] ib_2$
[/mm]
$= [mm] a_1 [/mm] + [mm] a_2 -i(b_1 [/mm] + [mm] b_2)$
[/mm]
$= [mm] \overline{a_1 + b_1 + i(b_1 + b_2)}$
[/mm]
$= [mm] \overline{z_1 + z_2}$.
[/mm]
Klar?  Ist doch wirklich leicht, oder nicht?
Zur zweiten Aufgabe:
Es sein $z=a+ib$. Dann gilt, da zwei Zahlen genau dann gleich sind, wenn ihre Real- und ihre Imaginärteile übereinstimmen:
[mm] $\overline{z} [/mm] =z$
[mm] $\Leftrightarrow \quad \overline{a+ib} [/mm] = a+ib$
[mm] $\Leftrightarrow \quad [/mm] a-ib = a + ib$
[mm] $\Leftrightarrow \quad [/mm] -b = b$
[mm] $\Leftrightarrow \quad [/mm] b=0$
[mm] $\Leftrightarrow \quad [/mm] z [mm] \in \IR$.
[/mm]
Vielleicht hilft dir das ja für die anderen Aufgaben...
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:31 Di 25.10.2005 | | Autor: | dump_0 |
Hallo Stefan.
Vielen Dank für deine Hilfe, du hast mir wirklich weitergeholfen. Ich muss erstmal wieder lernen anders zu denken wenn ich solche Aufgaben mache :) Aber ich denke ich habe schon etwas verstanden.
Ein Problem hätte ich da jetzt aber noch, wo ich nicht genau weiß wie ich das lösen soll, und zwar folgende Aufgabe (vermutlich wieder sehr leicht):
Aufg.: Skizzieren Sie folgende Teilmengen von [mm] \IC [/mm] :
a) {z [mm] \in \IC [/mm] : |z + 1| = 4}
z ist ja eigentlich eine kompl. Zahl, z.B. z = a + bi.
Also wäre es dann z + 1 = a + bi + 1 ??
Wie soll ich denn jetzt die Menge skizzieren ??
Liebe Grüße
[mm] dump_0
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:59 Di 25.10.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo dump!
Dein Ansatz ist ja gar nicht so schlecht.
Wir haben also: $z+1 \ = \ a+i*b + 1 \ = \ (a+1) + i*b$
Wie lautet nun der Betrag einer komplexen Zahl $z_$ ?
$|z| \ = \ [mm] \wurzel{\left[Re(z)\right]^2 + \left[Im(z)\right]^2 \ }$
[/mm]
Wenn Du das nun für unsere Aufgabe einsetzt, erhältst Du:
$|z+1| \ = \ [mm] \wurzel{(a+1)^2 + b^2 \ } [/mm] \ = \ 4$
Und nach Quadrieren dieser Gleichung sollte Dich das doch eventuell an eine Gleichung für eine bestimmte geometrische Form erinnern ...
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:08 Di 25.10.2005 | | Autor: | dump_0 |
Also wenn ich das dann auflöse bekomme ich
|z + 1| = a² + 2a + b² = 15
oder halt:
|z + 1| = (a + 1)² + b² = 16
(a + 1)² ist die eine binomische Formel, soviel weiß ich :)
Aber ehrlich gesagt kann ich dann auch nix mehr damit anfangen, tut mir leid wenn ich mich so schwer tu :'-(
Grüße
|
|
|
| |
|
Hallo,
Du wolltest doch alle z [mm] \in [/mm] IC mit |z-1|=4 skizzieren.
Du hattest z geschrieben als z=a+ib und herausgefunden, daß a und b wie folgt zusammenhängen:
> oder halt:
>(a + 1)² + b² = 16
Überleg Dir erstmal, welche Werte a+1 bzw. a und b überhaupt annehmen können.
Für b=6 sähe es z.B. schlecht aus.
Jetzt kommt ein Wink mit dem Zaunpfahl.
Wie lautet eigentlich die Gleichung eines Kreises mit dem Radius r um den Ursprung?
Und wie die eines Kreises mit Radius 3 um (-5, 0)?
Und was für ein Gebilde ist (a + 1)² + b² = 16 ?
Soso... Nun dürfte der Skizze nichts mehr im Wege stehen, oder etwa doch?
Gruß v. Angela
>
> (a + 1)² ist die eine binomische Formel, soviel weiß ich
> :)
>
> Aber ehrlich gesagt kann ich dann auch nix mehr damit
> anfangen, tut mir leid wenn ich mich so schwer tu :'-(
>
>
> Grüße
|
|
|
|
