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Forum "Uni-Analysis" - Beweise (2n über k) = ...
Beweise (2n über k) = ... < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Beweise (2n über k) = ...: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:31 Mi 09.11.2005
Autor: fvs

Die Aufgabe lautet:

Beweisen Sie:   [mm] \vektor{2n \\ n} [/mm] =  [mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k}². [/mm]

Ich habe gar keine Idee, ich hoffe, dass mir jemand helfen kann.
Natürlich habe ich den Induktionsanfang bewiesen. .Ich habe dann angenommen, dass die Aussage auch für n+1 wahr ist, Wenn ich die rechte Seite "aufdrösel" erhalte ich [mm] 2^n+1. [/mm] Das bekomme ich allerdings nicht auf der linken Seite heraus.

Ich habe diese Frage noch in keinem anderen Forum gestellt.

        
Bezug
Beweise (2n über k) = ...: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:10 Do 10.11.2005
Autor: Stefan

Hallo!

Man hat jetzt zwei Möglichkeiten: Entweder man zieht eine fiese Induktion durch oder aber man löst die Aufgabe elegant. Ich entscheide mich für letzteres.

Betrachte die Menge [mm] $M:=\{x_1,\ldots,x_n,y_1,\ldots,y_n\}$ [/mm] mit $2n$ verschiedenen Elementen. Die $n$-elementigen Teilmengen dieser Klassen zerfallen in $n+1$ Klassen [mm] $A_i$ ($i=0,\ldots,n-1)$, [/mm] wobei in [mm] $A_i$ [/mm] diejenigen Teilmengen liegen, die $i$ der [mm] $x_j$'s [/mm] und $n-i$ der [mm] $y_j$'s [/mm] enthalten. Bekanntlich enthält [mm] $A_i$ [/mm] dann

${n [mm] \choose [/mm] i } [mm] \cdot [/mm] {n [mm] \choose [/mm] n-i} = {n [mm] \choose i}^2$ [/mm]

Elemente. Damit ergibt sich die Anzahl aller $n$-elementigen Teilmengen von $M$ als

[mm] $\sum\limits_{i=0}^n [/mm] {n [mm] \choose i}^2$ [/mm]  .

Andererseits ist diese Anzahl aber bekanntlich gleich ${2n [mm] \choose [/mm] n}$.

Das war'S.

Liebe Grüße
Stefan

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