Beweise Cos(5\alpha) < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:58 Mo 04.10.2010 | | Autor: | Marius6d |
| Aufgabe | Rechnen Sie nach, dass gilt:
[mm] cos(5\alpha) [/mm] = [mm] cos^5(\alpha) [/mm] - [mm] 10cos^3(\alpha)*sin^2(\alpha) [/mm] + [mm] 5*cos(\alpha)*sin^4(\alpha) [/mm] |
Wir haben das heute als Aufgabe zum Thema komplexe Zahlen bekommen, deshalb habe ich es einmal hierhin verschoben. Ja meine Frage ist wie ich hier vorgehen muss, damit ich dieses ganzen sinus und cosinus wegstreichen kann. Das die Gleichung stimmt habe ich bereits mit verschiedenen Winkeln geprüft, das ist klar, aber ich denke das dies wohl kaum die Lösung sein kann.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:17 Mo 04.10.2010 | | Autor: | abakus |
> Rechnen Sie nach, dass gilt:
>
> [mm]cos(5\alpha)[/mm] = [mm]cos^5(\alpha)[/mm] -
> [mm]10cos^3(\alpha)*sin^2(\alpha)[/mm] +
> [mm]5*cos(\alpha)*sin^4(\alpha)[/mm]
> Wir haben das heute als Aufgabe zum Thema komplexe Zahlen
> bekommen, deshalb habe ich es einmal hierhin verschoben. Ja
> meine Frage ist wie ich hier vorgehen muss, damit ich
> dieses ganzen sinus und cosinus wegstreichen kann. Das die
> Gleichung stimmt habe ich bereits mit verschiedenen Winkeln
> geprüft, das ist klar, aber ich denke das dies wohl kaum
> die Lösung sein kann.
Hallo,
setze [mm] z=cos\phi [/mm] + i* [mm] sin\phi.
[/mm]
Berechne [mm] z^5 [/mm] auf zwei verschiedenen Wegen:
1) Rechne [mm] (cos\phi [/mm] + i* [mm] sin\phi)^5 [/mm] mit dem Pascalschen Dreieck aus.
2) Nutze [mm] z^n=r^n*( [/mm] cos [mm] n*\phi [/mm] + i*sin [mm] n*\phi [/mm] )
Vergleiche dann beide Ergebnisse (Realteil=Realteil und Imaginärteil = Imaginärteil).
Dabei fällt auch gleich noch eine Formel für sin [mm] 5\phi [/mm] mit ab.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:19 Sa 09.10.2010 | | Autor: | Marius6d |
Ok, also ich habe das mal mit dem pascalschen Dreieck probiert, bin auf folgendes gekommen:
[mm] \summe_{i=0}^{5} \vektor{5 \\ i} cos\alpha^{5-i}*sin\alpha^{i}
[/mm]
= [mm] \vektor{5 \\ 0}cos\alpha^5*isin\alpha^0 [/mm] + [mm] \vektor{5 \\ 1}cos\alpha^4*isin\alpha^1 [/mm] + [mm] \vektor{5 \\ 2}cos\alpha^3*isin\alpha^2 [/mm] + [mm] \vektor{5 \\ 3}cos\alpha^2*isin\alpha^3 [/mm] + [mm] \vektor{5 \\ 4}cos\alpha^1*isin\alpha^4 [/mm] + [mm] \vektor{5 \\ 5}cos\alpha^0*isin\alpha^5
[/mm]
= [mm] cos\alpha^5 [/mm] + [mm] 5(cos\alpha^4*isin\alpha) [/mm] + [mm] 10(cos\alpha^3*isin\alpha^2) [/mm] + [mm] 10(cos\alpha^2*isin\alpha^3) [/mm] + [mm] 5(cos\alpha*isin\alpha^4) +isin\alpha^5
[/mm]
wie muss ich jetzt weiterfahren? bzw. wie ist das mit dem vergleichen genau gemeint?
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Hallo Marius,
da fehlt noch etwas Entscheidendes in Deiner Summe, nämlich die Potenzen von i. Auch das i wird ja mit potenziert!
Dabei ist [mm] \forall k\in\IZ [/mm] ja [mm] i^{4k}=1,\ i^{4k+1}=i,\ i^{4k+2}=-1,\ i^{4k+3}=-i.
[/mm]
Das Vergleichen zielt auf den Vergleich von Re(z) auf beiden Seiten bzw. Im(z) auf beiden Seiten.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:45 Sa 09.10.2010 | | Autor: | Marius6d |
ah genau vielen dank, das hab ich vergessen, so gehts natuerlich schoen auf!
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Darstellungen von Sinus und Kosinus im Komplexen