Beweise durch VI < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo.
Wir haben letzte Woche in der Mathe-Vorlesung Induktionsbeweise angesprochen. Dabei wurde das Vorgehen bei solchen Beweisen wie folgt dargestellt. Man prüft erst für einen konkreten Fall (n=0, n=1) ob eine Aussage gilt. Ist das der Fall, nimmt man an, dass der allgemeine Fall für n richtig ist. Dann betrachtet man (n+1) und muss dann einen Schluss durchführen. Der sieht laut Vorlesung so aus, dass von (n+1) auf n geschlossen werden soll.
Aus der Schule kenne ich noch eine andere Möglichkeit: (n+1) so lange umformen, bis eine offensichtlich wahre Aussage (z. B. n+1>n, n aus N) entsteht.
Ich rechne nun schon seit gestern ziemlich lange an den folgenden beiden IBs rum, aber ich komme an einem Punkt nicht mehr weiter:
www.ml-team.de/Mathforum/2a.jpg
www.ml-team.de/Mathforum/3a.jpg
Konkret zu 3a)
Wenn ich den "Zusatzterm" irgendwie aus dem Ganzen eliminieren könnte, wäre alles gezeigt. Ich habe aber keine Ahnung, wie ich das machen soll. Habe teilweise schon "Nulladdition" (also. +n -n) probiert, aber das bringt auch nichts...
Ich wäre für einen Hinweis auf Fehler oder einen Lösungsansatz, -idee sehr dankbar.
Daniel.
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Hi, Daniel,
den Löwenanteil hast Du schon erledig,
multipliziere beide Seiten noch mit (3/2)
wenn Du nun noch zeigst daß für n > 2
3/2 < (2n+1)/(n+1) bist Du fertig, da dann die Aussage für n links mit einem kleinerem Faktor als rechts
multipliziert dasteht, also erst recht gilt.
Es wäre vielleicht einfacher, von Anfag an nur zu vergleichen,
mit welchem Faktor, bei Erhöhung auf n+1, die Linke und die Rechte Seite multipliziert werden.
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Hallo.
Erstmal danke für die Antwort. Die Idee ist einfach, aber genial. Klappt übrigens problemlos, das dann zu beweisen.
Jetzt bräuchte ich bitte noch einen ähnlich guten Tipp für die 2a.
Gruß,
Daniel
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Hallo, Daniel
2a)
[mm] $(n+1)^{n+1} [/mm] > [mm] (n+2)^n$ [/mm] dividieren durch [mm] $(n+1)^n$
[/mm]
$n+1 > [mm] \left( \bruch{n+2}{n+1} \right) [/mm] ^n$
$n+1 > [mm] \left( 1 + \bruch{1}{n+1} \right)^n$
[/mm]
dämmert Dir da bezüglich der rechten Seite nicht etwas ( Grenzwert ) ?
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Hallo.
Diese Idee hatte ich auch schon. Das Problem ist nur, dass der Grenzwert noch nicht definiert wurde. Ich kann zwar Grenzewerte bestimmen, aber die Korrektoren sind da sehr empfindlich - ich habe mich schon mal mit so einer Aktion ziemlich in die Nesseln gesetzt. Sollte der Grenzwert in der morgigen Vorlesung definiert werden, wäre der Beweis "legal", ansonsten leider nicht.
Gruß,
Daniel.
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> Hallo.
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> Diese Idee hatte ich auch schon. Das Problem ist nur, dass
> der Grenzwert noch nicht definiert wurde.
und wenn Du es selbst zeigst, z.B. wie
hier praktisch schon geschenen
Ich kann zwar
> Grenzewerte bestimmen, aber die Korrektoren sind da sehr
> empfindlich - ich habe mich schon mal mit so einer Aktion
> ziemlich in die Nesseln gesetzt. Sollte der Grenzwert in
> der morgigen Vorlesung definiert werden, wäre der Beweis
> "legal", ansonsten leider nicht.
>
>
>
> Gruß,
> Daniel.
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