Beweise m.R. nicht zshgd < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:24 Do 04.06.2009 | | Autor: | Peano08 |
| Aufgabe | | Sei X ein metrischer Raum, der aus endlich vielen Punkten besteht und der mindestens zwei Punkte hat. Beweisen Sie, dass X nicht zusammenhängend sein kann. |
Hallo,
ich hoffe mir kann hier jemand helfen, denn ich habe irgendwie gar keine Idee, wie ich hier ansetzen soll??!!
Danke schonmal!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:33 Do 04.06.2009 | | Autor: | fred97 |
Sei X = { [mm] x_1, x_2, [/mm] ..., [mm] x_n [/mm] } (wobei [mm] x_i \not= x_j [/mm] für i [mm] \not= [/mm] j). Sei d die Metrik.
Setze
r:= min { [mm] d(x_i,x_j) [/mm] : i,j = 1, ..., n, i [mm] \not= [/mm] j}
und [mm] M_j [/mm] = { [mm] x_j [/mm] } (j = 1, ..., n)
Dann:
[mm] M_j [/mm] = { x [mm] \in [/mm] X: [mm] d(x,x_j) [/mm] < [mm] \bruch{r}{2}} [/mm] (j = 1, ..., n)
also ist jedes [mm] M_j [/mm] offen in X.
Wegen
X = [mm] \bigcup_{j=1}^{n}M_j
[/mm]
ist also X disjunkte Vereinigung von offenen Mengen und somit nicht zusammenhängend.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:18 Do 04.06.2009 | | Autor: | Peano08 |
hi,
vielen Dank für deine schnelle Antwort.
Man, da war ich ganz schön blind, das Kriterium der Vereinigung aller offenen mengen hab ich ganz übersehen..
aber warum hast du dir ein r definiert?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:22 Do 04.06.2009 | | Autor: | fred97 |
> hi,
> vielen Dank für deine schnelle Antwort.
>
> Man, da war ich ganz schön blind, das Kriterium der
> Vereinigung aller offenen mengen hab ich ganz übersehen..
>
>
> aber warum hast du dir ein r definiert?
Damit
[mm] M_j [/mm] = { x [mm] \in [/mm] X: [mm] d(x,x_j) [/mm] < [mm] \bruch{r}{2} [/mm] } und somit [mm] M_j [/mm] offen
FRED
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