Beweise mit Skalarprodukt < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Ein Tetraeder ist eine dreiseitige Pyramide, bei der alle Kanten gleich lang sind.
Beiweisen Sie, dass zwei gegenüberliegende Kanten (rot) beim Tetraeder orthogonal sind. |
Hallo!
Gegeben ist also:
$ | [mm] \vec{a} [/mm] | = | [mm] \vec{b} [/mm] | = | [mm] \vec{c} [/mm] |$
Und zu beweisen ist:
[mm] $\vec{c} [/mm] * [mm] (\vec{b} [/mm] - [mm] \vec{a}) [/mm] = 0$
Nur weiß ich nicht so recht, wie ich das machen soll. Kann mir jemand von euch helfen? Vermutlich gibt es noch mehr Voraussetzungen, auf die ich nicht komme.
Auf jeden Fall vielen Dank.
Ciao miniscout ![[read]](/images/smileys/read.gif "[read]")
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Hi, Miniscout,
(1) Laut Definition des Skalarprodukts ist:
[mm] \vec{a}\circ \vec{b} [/mm] = [mm] a*b*cos(\phi),
[/mm]
wobei [mm] \phi [/mm] der Winkel zwischen beiden Vektoren ist.
(2) Sind in Deinem Tetraeder die Vektoren alle gleich lang, dann schließen sie auch denselben Winkel ein (gleichseitige Dreiecke!).
(3) Nun zu Deinem Ansatz:
[mm] \vec{a} \circ (\vec{b}-\vec{c}) [/mm]
= [mm] \vec{a} \circ \vec{b} [/mm] - [mm] \vec{a} \circ \vec{c}
[/mm]
= ...
Der Rest ist klar!
mfG!
Zwerglein
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Danke!
Ist folgender Beweiß also richtig?
geg.:
(1) [mm] $\vec{a}\circ \vec{b} [/mm] = [mm] a*b*cos(\phi)$
[/mm]
(2) a = b = c
[mm] $\vec{c} \circ (\vec{b}-\vec{a})$
[/mm]
$= [mm] \vec{c} \circ \vec{b} [/mm] - [mm] \vec{a} \circ \vec{c}$
[/mm]
$= [mm] b*c*cos(\phi) [/mm] - [mm] a*c*cos(\phi)$
[/mm]
$= [mm] c*cos(\phi)*(b-a)$
[/mm]
$= 0$
Gruß miniscout
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Hi, miniscout,
> Ist folgender Beweiß also richtig?
>
> geg.:
> (1) [mm]\vec{a}\circ \vec{b} = a*b*cos(\phi)[/mm]
> (2) a = b = c
>
>
> [mm]\vec{c} \circ (\vec{b}-\vec{a})[/mm]
>
> [mm]= \vec{c} \circ \vec{b} - \vec{a} \circ \vec{c}[/mm]
>
> [mm]= b*c*cos(\phi) - a*c*cos(\phi)[/mm]
>
> [mm]= c*cos(\phi)*(b-a)[/mm]
>
> [mm]= 0[/mm]
Bis auf die Tatsache, dass man Beweis nicht mit "ß" schreibt,
alles ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
mfG!
Zwerglein
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