Beweise mit Skalarprodukt < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:59 Di 09.11.2004 | | Autor: | rabbar |
Errichtet man über den vier Seiten eines Parallelogramms je ein Quadrat, so bilden deren Mittelpunkte die Ecken eines Quadrats.
Beweisen Sie diesen Satz, indem Sie zeigen :
[mm] \vec{x} [/mm] ist orthogonal zu [mm] \vec{y} [/mm] und [mm] |\vec{x}| [/mm] = [mm] |\vec{y}|
[/mm]
[mm] PS.:\vec{x} [/mm] + [mm] \vec{y} [/mm] sind die Vektoren des neuen Quadrats wo sich die Ecken aus den Mittelpunkten der anderen Quadrate ergibt!!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:27 Mi 10.11.2004 | | Autor: | Sigrid |
Hallo rabbar,
Was hast du dir zu deiner Aufgabe bereits überlegt? Du hast doch sicher schon anhand einer Zeichnung Überlegungen angestellt, wie du an die Vektoren [mm]\vec x[/mm] und [mm]\vec y [/mm] kommst.
Solche Überlegungen solltest du immer zusammen mit deiner Frage mitteilen. Du machst es uns, aber auch dir damit viel leichter. Vor allem brauchst du in der Regel nicht lange auf die Antwort zu warten.
Gruß Sigrid
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Sorry hab mir zuerst das falsche Vorgestellt. Das ist zwar keine Lösung für dein Problem aber vielleicht ne überlegung wert.
Eventuell ne Grundlage für deine Überlegungen....
Sorry !
......................
Hallo ersmal!!!
Ich habe so eine Aufgabe auch schon im Unterricht behandelt.
Meine Aufgabenstellung bezieht sich allerding auf die Seitenmittelpunkte bei einem beliebiegen Viereck. Wenn man diese verbindet, ergibt sich ein Parallelogramm.
Nachweis:
Du hast ein beliebiges Viereck ABCD
und du hast die Mittelpunkte der Seiten EFGH
Meine Reihenfolge: A - F - B - G - C - H - D - E
Jetzt habe ich die Vektoren zur einfacheren Handhabung folgendermaßen Definiert:
[mm] \vec{a} [/mm] = [mm] \overrightarrow{AB}
[/mm]
[mm] \vec{b} [/mm] = [mm] \overrightarrow{BC}
[/mm]
[mm] \vec{c} [/mm] = [mm] \overrightarrow{CD}
[/mm]
[mm] \vec{d} [/mm] = [mm] \overrightarrow{DA}
[/mm]
Nun nimmst du dir zwei angeblich parallele Seiten des Parallelogramms zur Brust:
[mm] \overrightarrow{FG} [/mm] kann auch so berechnet werden:
[mm] \overrightarrow{FG} [/mm] = 0.5 * [mm] \vec{a} [/mm] + 0.5 * [mm] \vec{b}
[/mm]
Das gleiche kannst du auch nochmal für den Vektor [mm] \overrightarrow{HE} [/mm] (pralleler Gegenvektor mit gleichem Betrag) machen:
[mm] \overrightarrow{HE} [/mm] = 0.5 * [mm] \vec{c} [/mm] + 0.5 * [mm] \vec{d}
[/mm]
Wenn diese beiden Vektoren nun parallel und gleich lang sein sollen, musst du aus denen eine geschlossene Vektorkette basteln können.
Deswegen sollte gelten:
[mm] \overrightarrow{FG} [/mm] + [mm] \overrightarrow{HE} [/mm] = [mm] \vec{0}
[/mm]
mal das ganze Zeugs von oben eingesetzt:
0.5 * [mm] \vec{a} [/mm] + 0.5 * [mm] \vec{b} [/mm] + 0.5 * [mm] \vec{c} [/mm] + 0.5 * [mm] \vec{d} [/mm] = [mm] \vec{0}
[/mm]
Jetzt kannst du das ganze natürlich noch mit 2 multiplizieren, und du hast deine geschlossene Vektorkette des Vierecks wieder.
Aus diesem Zusammenhang, dass die beiden Vektoren bei der addition den Nullvektor ergeben, ergibt sich auch, dass die beiden parallel und gleich lang sind.
Dein Beweis geht also als Nebenprodukt aus der geschlossenen Vektorkette hervor.
q.e.d.
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