Beweise von Aussagen < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:27 Mo 18.10.2010 | | Autor: | luvmaths |
| Aufgabe 1 | A [mm] \subset [/mm] B [mm] \gdw [/mm] KOMPL B [mm] \subset [/mm] KOMPL A
wobei KOMPL A def. als [mm] \IR \setminus [/mm] A |
| Aufgabe 2 | | A = A [mm] \cup [/mm] B [mm] \gdw [/mm] B [mm] \subset [/mm] A |
Hi,
Habe eigentlich keinen wirklichen Plan, was ich auf meinem (ersten) Ana-Übungsblatt genau bei dieser Aufgabe machen muss. :(
Habe bei A1 mir erstmal die Definitionen hingeschrieben und etwas äquivalent auf beiden Seiten umgeformt, sodass ich dann stehen habe:
[mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] A: x [mm] \in [/mm] B [mm] \gdw \forall [/mm] x [mm] \not\in [/mm] B: x [mm] \not\in [/mm] A
Eigentlich ist das doch relativ logisch, wenn ich zwei Mengen zeichne, wovon A eine Teilmenge von B ist.. aber wie kann ich das mathematisch ausformulieren?
Zu A2 stehe ich bei der Hinrichtung auf dem Schlauch, aber die Rückrichtung habe ich, denke ich geschafft:
B [mm] \subset [/mm] A [mm] \Rightarrow \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] B : x [mm] \in [/mm] A
[mm] \Rightarrow \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] B : x [mm] \in [/mm] A [mm] \cup [/mm] B
[mm] \Rightarrow \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] A : x [mm] \in [/mm] A [mm] \cup [/mm] B und [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] A [mm] \cup [/mm] B : x [mm] \in [/mm] A
[mm] \Rightarrow [/mm] A = A [mm] \cup [/mm] B
Beweise sind doof. :(
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:27 Mo 18.10.2010 | | Autor: | abakus |
> A [mm]\subset[/mm] B [mm]\gdw[/mm] KOMPL B [mm]\subset[/mm] KOMPL A
> wobei KOMPL A def. als [mm]\IR \setminus[/mm] A
> A = A [mm]\cup[/mm] B [mm]\gdw[/mm] B [mm]\subset[/mm] A
> Hi,
Hallo,
ich weiß nicht, was ihr für Grundlagen verwenden dürft.
Ich würde A [mm]\subset[/mm] B interpretieren als
[mm] x\in [/mm] A [mm] \Rightarrow x\in [/mm] B
davon kann man die Kontraposition bilden und diese wieder als Teilmengenbeziehung schreiben --> eine Richtung ist fertig.
Gruß Abakus
>
> Habe eigentlich keinen wirklichen Plan, was ich auf meinem
> (ersten) Ana-Übungsblatt genau bei dieser Aufgabe machen
> muss. :(
>
> Habe bei A1 mir erstmal die Definitionen hingeschrieben und
> etwas äquivalent auf beiden Seiten umgeformt, sodass ich
> dann stehen habe:
> [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] A: x [mm]\in[/mm] B [mm]\gdw \forall[/mm] x [mm]\not\in[/mm] B: x
> [mm]\not\in[/mm] A
> Eigentlich ist das doch relativ logisch, wenn ich zwei
> Mengen zeichne, wovon A eine Teilmenge von B ist.. aber wie
> kann ich das mathematisch ausformulieren?
>
> Zu A2 stehe ich bei der Hinrichtung auf dem Schlauch, aber
> die Rückrichtung habe ich, denke ich geschafft:
> B [mm]\subset[/mm] A [mm]\Rightarrow \forall[/mm] x [mm]\in[/mm] B : x [mm]\in[/mm] A
> [mm]\Rightarrow \forall[/mm] x [mm]\in[/mm] B : x [mm]\in[/mm] A [mm]\cup[/mm] B
> [mm]\Rightarrow \forall[/mm] x [mm]\in[/mm] A : x [mm]\in[/mm] A [mm]\cup[/mm] B und [mm]\forall[/mm] x
> [mm]\in[/mm] A [mm]\cup[/mm] B : x [mm]\in[/mm] A
> [mm]\Rightarrow[/mm] A = A [mm]\cup[/mm] B
>
> Beweise sind doof. :(
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
|
|
|
| |
|
Hallo,
ergänzend zu abakus' Antwort, die sehr elegant ist!
Vllt. ist es aber gerade zu Beginn ganz gut, das mal anhand der Definitionen zu beweisen:
Zuerst die Richtung [mm]\Rightarrow[/mm]
Gelte [mm]A\subset B[/mm]
Dann ist zz: [mm]B^C\subset A^C[/mm]
Also, dass jedes [mm]x\in B^C[/mm] gefälligst auch in [mm]A^C[/mm] liegt
Nimm dir also ein bel. [mm]x\in B^C[/mm] her.
Dann gilt mit Def "Komplement": [mm]x\notin B[/mm]
Nun indirekt: Ann.: [mm]x\notin A^C[/mm], dann [mm]x\in A[/mm]
Wegen [mm]A\subset B[/mm] würde dann aber folgen [mm]x\in B[/mm] WIDERSPRUCH, also Ann. falsch und [mm]x\notin A[/mm], dh. [mm]x\in A^C[/mm]
Also ist gezeigt, dass aus [mm]A\subset B[/mm] folgt [mm]B^C\subset A^C[/mm]
Nun mache die andere Rrichtung [mm]\Leftarrow[/mm]!
> A [mm]\subset[/mm] B [mm]\gdw[/mm] KOMPL B [mm]\subset[/mm] KOMPL A
> wobei KOMPL A def. als [mm]\IR \setminus[/mm] A
> A = A [mm]\cup[/mm] B [mm]\gdw[/mm] B [mm]\subset[/mm] A
> Hi,
>
> Habe eigentlich keinen wirklichen Plan, was ich auf meinem
> (ersten) Ana-Übungsblatt genau bei dieser Aufgabe machen
> muss. :(
>
> Habe bei A1 mir erstmal die Definitionen hingeschrieben und
> etwas äquivalent auf beiden Seiten umgeformt, sodass ich
> dann stehen habe:
> [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] A: x [mm]\in[/mm] B [mm]\gdw \forall[/mm] x [mm]\not\in[/mm] B: x
> [mm]\not\in[/mm] A
> Eigentlich ist das doch relativ logisch, wenn ich zwei
> Mengen zeichne, wovon A eine Teilmenge von B ist.. aber wie
> kann ich das mathematisch ausformulieren?
>
> Zu A2 stehe ich bei der Hinrichtung auf dem Schlauch, aber
> die Rückrichtung habe ich, denke ich geschafft:
> B [mm]\subset[/mm] A [mm]\Rightarrow \forall[/mm] x [mm]\in[/mm] B : x [mm]\in[/mm] A
> [mm]\Rightarrow \forall[/mm] x [mm]\in[/mm] B : x [mm]\in[/mm] A [mm]\cup[/mm] B
> [mm]\Rightarrow \forall[/mm] x [mm]\in[/mm] A : x [mm]\in[/mm] A [mm]\cup[/mm] B und [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] A [mm]\cup[/mm] B : x [mm]\in[/mm] A
> [mm]\Rightarrow[/mm] A = A [mm]\cup[/mm] B
Das stimmt, soweit ich das sehen kann, als Korrektor würde ich dir aber ne Menge Punkte abziehen.
Gerade zu Beginn solltest du sauber begründen, so wie es dasteht, ist es "umständlich" nachzuvollziehen ...
Für die andere Richtung ist zz. [mm]B\subset A[/mm]
Wie oben sei also [mm]x\in B[/mm] beliebig, zu zeigen [mm]x\in A[/mm]
Das kannst du wieder schnell indirekt erledigen:
Ann.: [mm]x\notin A[/mm]
Was sagt das über [mm]A=A\cup B[/mm]
Wo ist der Widerspruch?
>
> Beweise sind doof. :(
Dann hast du wohl den falschen Studiengang gewählt!
Rechnen macht man in der Schule, im Studium beweist man (neben dem Rechnen  )
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:17 Di 19.10.2010 | | Autor: | luvmaths |
Hi,
Danke für die Hilfe! :)
Ist ja eigentlich echt doof/einfach, wenn man das dann mit indirektem Beweis macht..
Es gibt also 2 Beweistypen:
1) von Abakus angewendet: A => B [mm] \gdw \neg [/mm] B => [mm] \neg [/mm] A
2) von dir angewendet: A => B wird bewiesen, indem man einfach [mm] \neg [/mm] B annimmt und dann einen Widerspruch findet
Stimmt das oder gibt es noch mehr?
Die Rückrichtung von A1 ist dann analog!! zur Hinrichtung, nur dass man halt annimmt, dass x [mm] \not\in [/mm] B ist und dann den quasi selben Widerspruch findet..
Aufgabe 2:
Kann ich das mathematisch schöner formulieren oder ist das so ok?
Sei x [mm] \in [/mm] B bel.
Annahme: x [mm] \not\in [/mm] A. Aus Vorr. haben wir: A = A [mm] \cup [/mm] B.
Da das aber nur gilt, wenn B = [mm] \emptyset [/mm] haben wir den Blitz :)
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Hi,
>
> Danke für die Hilfe! :)
> Ist ja eigentlich echt doof/einfach, wenn man das dann mit
> indirektem Beweis macht..
So ist das manchmal, gerade zu Beginn sind die Beweise ja nicht so sehr tiefschürfend ...
> Es gibt also 2 Beweistypen:
Naja, es gibt viel viel mehr Typen, schaue mal ![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Beweis_%28Mathematik%29
>
> 1) von Abakus angewendet: A => B [mm]\gdw \neg[/mm] B => [mm]\neg[/mm] A
> 2) von dir angewendet: A => B wird bewiesen, indem man
> einfach [mm]\neg[/mm] B annimmt und dann einen Widerspruch findet
>
> Stimmt das oder gibt es noch mehr?
Das sind "schnelle" Möglichkeiten hier, insbesondere die Version von abakus ist sehr elegant, da sie mit 1 Zeile auskommt
Aber wie gesagt: über gerade zu Beginn, mit den Definitionen zu hantieren ..
>
> Die Rückrichtung von A1 ist dann analog!! zur Hinrichtung,
> nur dass man halt annimmt, dass x [mm]\not\in[/mm] B ist und dann
> den quasi selben Widerspruch findet..
So ist es!
>
>
> Aufgabe 2:
> Kann ich das mathematisch schöner formulieren oder ist das
> so ok?
>
> Sei x [mm]\in[/mm] B bel.
> Annahme: x [mm]\not\in[/mm] A. Aus Vorr.
bitte nur ein "r" in Voraussetzung !!
> haben wir: A = A [mm]\cup[/mm] B.
> Da das aber nur gilt, wenn B = [mm]\emptyset[/mm]
Nee, das gilt stets, wenn [mm]B\subset A[/mm] , das ist ja Teil der zu zeigenden Aussage.
Die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge, also gilt als Spezialfall insbesondere [mm]A=A\cup\emptyset[/mm]
> haben wir den Blitz :)
Leider noch nicht, denk noch mal schärfer nach ...
Vllt. ist es auch direkt einsichtiger (und schneller):
Sei [mm]x\in B[/mm], zz: [mm]x\in A[/mm]
Mit [mm]x\in B[/mm] ist [mm]x\in A\vee x\in B[/mm] (klar, wieso?), also [mm]x\in \underbrace{A\cup B}_{=A \ \text{nach Vor.}}[/mm]
Also [mm]x\in A[/mm]
Damit ist gezeigt [mm]B\subset A[/mm]
Gruß
schachuzipus
|
|
|
|
