Beweise von Eigenschaften < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:53 Mi 24.06.2009 | | Autor: | MasterD |
| Aufgabe | Seien f [mm] \in [/mm] L(V,W) und [mm] x^{i} [/mm] eine Familie von Vektoren aus V. Beweisen Sie folgende Sätze:
(a) [mm] f(span(x^{i}) [/mm] = span [mm] ((f(x^{i})) [/mm] i [mm] \in [/mm] I
(b) Ist [mm] (f(x^{i}) [/mm] ein erzeugendes System von W, so ist f surjektiv
(c) Ist [mm] x^{i} [/mm] ein erzeugendes System von V und f surjektiv, so ist [mm] (f(x^{i})) [/mm] ein erzeugendes System von W.
(d) Ist [mm] (f(x^{i})) [/mm] linear unabhängig, so ist [mm] (x^{i}) [/mm] linear unabhänig
(e) Ist [mm] x^{i} [/mm] linear unabhänig und f injektiv, so ist [mm] (f(x^{i})) [/mm] linear unabhänig
(f) dim f(V) [mm] \le [/mm] dim V |
Hi, ich habe ein Problem mit diesen Beweisen, ich komme einfach nicht voran bzw. ich habe Zweifel daran, ob das was ich habe, richtig ist. Wäre um Rückmeldung / Hilfe beim Lösen dieser Aufgabe dankbar...
zu a) span [mm] (x^{i}) [/mm] bedeutet ja, dass die Familie [mm] x^{i} [/mm] eine Menge endlicher Linearkombination der Form ..
[mm] \summe_{i=1}^{n}\lambda_i x_{i} [/mm] ist.
Das würde ja bedeuten, dass
[mm] f(\summe_{i=1}^{n}\lambda_i x_{i}) [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n}\lambda_i f(x_{i}) [/mm] ist, oder?
Jetzt wende ich die Eigenschaften lin. Abbildungen darauf an und erhalte, das beide gleich sind. Frage dazu: Ist das so richtig?
Zu b)
Erzeugendes System bedeutet ja..
y = [mm] \summe_{i=1}^{n}\lambda_i f(x_{i})
[/mm]
wobei y [mm] \in [/mm] W. (y sei ein Vektor).
Angenommen, die Abbildung seie nicht surjektiv, d.h. y dürfte kein Urbild haben.
Wenn y aber jetzt ein Vektor ist, so muss er in [mm] span(f(x^{i})) [/mm] sein, da er auf jeden Fall als LK (Linearkombination) darstellbar ist.
Nach Eigenschaft (a) ist der aufgespannte Raum aber der gleiche, also muss es ein Urbild geben. Widerspruch zu Annahme? (Darf ich das so machen?)
Zu c)
Mein erzeugendes System ist ja jetzt auf jeden Fall in V, d.h. ich kann zu jedem Argument meiner linearen Abbildung einen Vektor finden, und jedes Bild hat ein Urbild.
Da sich der Raum span [mm] (x^{i}) [/mm] ja nicht verändert, muss [mm] (f(x^{i})) [/mm] erzeugendes System sein.
Zu d)
Aus
(V) [mm] \summe_{i=1}^{n}\mu_i f(x_{i}) [/mm] = 0 mit [mm] \mu_i [/mm] = 0 [mm] \forall [/mm] i
folgt ja:
(B) [mm] \summe_{i=1}^{n}\lambda_i x_{i} [/mm] = 0 [mm] \forall [/mm] i
(V = Voraussetzung, B = Behauptung)
Es seien [mm] \lambda_i \in [/mm] K.
[mm] \summe_{i=1}^{n}\lambda_i x_{i} [/mm] = 0
Darauf wende ich jetzt die Abbildung an, da f(0) = 0 muss gelten..
[mm] f(\summe_{i=1}^{n}\lambda_i x_{i}) [/mm] = f(0) = 0
Die linke Gleichung ist meiner Meinung nach aufgrund Linearität äquivalten zu..
[mm] \summe_{i=1}^{n}\lambda_i f(x_{i}) [/mm] = 0
und da ich weiß, dass hier lineare Unabhängigkeit vorhanden ist, muss es auch für meine Behauptung gelten.
Zu e)
[mm] \summe_{i=1}^{n}\lambda_i x_{i} [/mm] = 0 mit [mm] \lamba_i \forall [/mm] i (V)
Ich muss also zeigen:
[mm] f(\summe_{i=1}^{n}\lambda_i x_{i}) [/mm] = 0 [mm] \forall [/mm] i (B)
Sei [mm] f(\summe_{i=1}^{n}\lambda_i x_{i}) [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n}\mu_i f(x_{i}) [/mm] = 0
(Linearität)
f ist injektiv.
Weiter weiß ich nicht.
Zu f)
Ich hatte den wagen Gedanken, dass man mit einer Dimensionsformel etwas machen könnte...
Sei dim f(V) = Bild(f)
also gilt:
dim Bild(f) + dim Kern (f) = dim V
=> dim Bild (f) = dim V - dim Kern (f)
dim Kern ist nie < 0, also kann der rechte Ausdruck nur kleiner werden.
Ich bitte um Korrektur, bzw. Lösungshilfen oder Lösungen mit Erklärungen ;)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Sa 27.06.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
