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| Aufgabe | Die Funktion
[mm] csc:=\bruch{1}{sin}
[/mm]
heißt Kosekans. Sei [mm] csc_{0}(x):=csc(x) [/mm] für [mm] x\inD:=[-\bruch{\pi}{2},0)\cup(0,\bruch{\pi}{2}]. [/mm] Die Umkehrfunktion
[mm] arccsc:=csc_{0}^{-1}
[/mm]
heißt Arkuskosekans. Zeigen Sie:
(i) [mm] D(csc)=\IR\{k\pi:k\in\IZ}.
[/mm]
(ii) Der Kosekans ist [mm] 2\pi-periodisch [/mm] und ungerade.
(iii) csc ist differenzierbar und [mm] csc'(x)=-|csc(x)|\wurzel{csc^{2}(x)-1}für x\inD.
[/mm]
(iv) Sei [mm] csc_{1}(x):=csc(x) [/mm] für [mm] x\in[-\bruch{\pi}{2},0) [/mm] und [mm] csc_{}(x):=csc(x) [/mm] für [mm] x\in(0,\bruch{\pi}{2}]. [/mm] Dann gilt [mm] W(csc_{1})=(-\infty,-1] [/mm] und [mm] W(csc_{2})=[1,\infty).
[/mm]
(v) Für [mm] x\inD [/mm] gilt: [mm] csc^{2}(x)=1 \gdw x=\pm\bruch{\pi}{2}.
[/mm]
(vi) Der Kosekans ist streng monoton fallend auf [mm] [-\bruch{\pi}{2},0) [/mm] und [mm] (0,\bruch{\pi}{2}].
[/mm]
(vii) [mm] csc_{0} [/mm] besitzt eine Umkehrfunktion.
(viii) Für welche [mm] x\inD(arccsc) [/mm] gilt [mm] arccsc'(x)=-\bruch{1}{|x|\wurzel{x^{2}-1}}? [/mm] |
zu (i)
[mm] D(csc)=\IR\{sin(x)=0}=\IR\{k\pi;k\in\IZ}
[/mm]
Stimmt das?
zu (ii)
csc [mm] 2\pi-periodisch [/mm] und ungerade
[mm] csc(x+2\pi)=csc(x)
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{1}{sin(x+2\pi)}=\bruch{1}{sin(x)} \Rightarrow [/mm] periodisch
csc(-x)=-csc(x)
[mm] \gdw \bruch{1}{sin(-x)}=-\bruch{1}{sin(x)} \Rightarrow [/mm] ungerade
Stimmt das?
zu (iii)
Hier habe ich leider keine Ahnung ....
zu (iv)
Hier hab ich auch leider keinen Ansatz ...
zu (v)
[mm] x\inD
[/mm]
[mm] csc^{2}(x)=1 \gdw x=\bruch{\pi}{2} [/mm] v [mm] x=-\bruch{\pi}{2}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{sin^{2}(x)}=1
[/mm]
[mm] 1=sin^{2}(x)
[/mm]
1=|sin(x)|
[mm] \gdw x=\bruch{\pi}{2} [/mm] v [mm] x=-\bruch{\pi}{2}
[/mm]
zu (vi)
[mm] [csc'(c)]=-|csc(x)|\wurzel{csc^{2}(x)-1}<0
[/mm]
Das stimmt da der erste Teil < 0 und der zweite Teil > 0
zu (vii)
Hier weis ich leider auch nicht weiter ...
Ich hoffe mir kann jemand helfen, vielen Dank schon mal :D
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:48 Mo 26.05.2014 | | Autor: | meili |
Hallo,
> Die Funktion
> [mm]csc:=\bruch{1}{sin}[/mm]
> heißt Kosekans. Sei [mm]csc_{0}(x):=csc(x)[/mm] für
> [mm]x\inD:=[-\bruch{\pi}{2},0)\cup(0,\bruch{\pi}{2}].[/mm] Die
> Umkehrfunktion
> [mm]arccsc:=csc_{0}^{-1}[/mm]
> heißt Arkuskosekans. Zeigen Sie:
>
> (i) [mm]D(csc)=\IR\{k\pi:k\in\IZ}.[/mm]
> (ii) Der Kosekans ist [mm]2\pi-periodisch[/mm] und ungerade.
> (iii) csc ist differenzierbar und
> [mm]csc'(x)=-|csc(x)|\wurzel{csc^{2}(x)-1}für x\inD.[/mm]
> (iv) Sei
> [mm]csc_{1}(x):=csc(x)[/mm] für [mm]x\in[-\bruch{\pi}{2},0)[/mm] und
> [mm]csc_{}(x):=csc(x)[/mm] für [mm]x\in(0,\bruch{\pi}{2}].[/mm] Dann gilt
> [mm]W(csc_{1})=(-\infty,-1][/mm] und [mm]W(csc_{2})=[1,\infty).[/mm]
> (v) Für [mm]x\inD[/mm] gilt: [mm]csc^{2}(x)=1 \gdw x=\pm\bruch{\pi}{2}.[/mm]
>
> (vi) Der Kosekans ist streng monoton fallend auf
> [mm][-\bruch{\pi}{2},0)[/mm] und [mm](0,\bruch{\pi}{2}].[/mm]
> (vii) [mm]csc_{0}[/mm] besitzt eine Umkehrfunktion.
> (viii) Für welche [mm]x\inD(arccsc)[/mm] gilt
> [mm]arccsc'(x)=-\bruch{1}{|x|\wurzel{x^{2}-1}}?[/mm]
> zu (i)
> [mm]D(csc)=\IR\{sin(x)=0}=\IR\{k\pi;k\in\IZ}[/mm]
> Stimmt das?
Soll $D(csc)$ die Definitionsmenge sein?
Dann ist $D(csc) = [mm] \IR \setminus \{k\pi : k \in \IZ\}$ [/mm] ok,
auch deine Begründung.
>
> zu (ii)
> csc [mm]2\pi-periodisch[/mm] und ungerade
> [mm]csc(x+2\pi)=csc(x)[/mm]
> [mm]\gdw \bruch{1}{sin(x+2\pi)}=\bruch{1}{sin(x)} \Rightarrow[/mm]
> periodisch
> csc(-x)=-csc(x)
> [mm]\gdw \bruch{1}{sin(-x)}=-\bruch{1}{sin(x)} \Rightarrow[/mm]
> ungerade
> Stimmt das?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> zu (iii)
> Hier habe ich leider keine Ahnung ....
Wenn man davon ausgehen kann, dass sin(x) differenzierbar ist,
kann man Kettenregel (oder Quotientenregel) anwenden.
>
> zu (iv)
> Hier hab ich auch leider keinen Ansatz ...
Ist hier nach den Wertebereichen von [mm] $csc_1$ [/mm] und [mm] $csc_2$ [/mm] gefragt?
Aus den Wertebereichen von $sin(x)$, $x [mm] \in [-\bruch{\pi}{2};0)$ [/mm] und $x [mm] \in (0;\bruch{\pi}{2}]$ [/mm] und der Stetigkeit,
lassen sich die Wertebereiche für [mm] $\bruch{1}{sin(x)}$ [/mm] bestimmen.
>
> zu (v)
> [mm]x\inD[/mm]
> [mm]csc^{2}(x)=1 \gdw x=\bruch{\pi}{2}[/mm] v [mm]x=-\bruch{\pi}{2}[/mm]
> [mm]\bruch{1}{sin^{2}(x)}=1[/mm]
> [mm]1=sin^{2}(x)[/mm]
> 1=|sin(x)|
> [mm]\gdw x=\bruch{\pi}{2}[/mm] v [mm]x=-\bruch{\pi}{2}[/mm]
genauer müsste man [mm] $csc^2_0(x)$ [/mm] schreiben
>
> zu (vi)
> [mm]csc'(x)=-|csc(x)|\wurzel{csc^{2}(x)-1}<0[/mm]
> Das stimmt da der erste Teil < 0 und der zweite Teil > 0
>
> zu (vii)
> Hier weis ich leider auch nicht weiter ...
Eine im Definitionsbereich stetige und streng monotone Funktion hat eine
Umkehrfunktion.
>
> Ich hoffe mir kann jemand helfen, vielen Dank schon mal :D
Gruß
meili
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