Beweise zu komplexen Zahlen < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Die Einheitssphäre um den Ursprung in der komplexen Ebene wird mit [mm] S^1 [/mm] bezeichnet, d.h. [mm] S^1= \{ z \varepsilon \IC ||z| = 1\}.
[/mm]
Seien w,z [mm] \varepsilon S^1. [/mm] Beweisen Sie:
[mm] z^{-1} [/mm] = [mm] \overline{z} [/mm] und [mm] z^{-1} \varepsilon S^1 [/mm] |
Hallo zusammen,
zunächst: [mm] z^{-1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{z} [/mm] und ich definiere die komplexe Zahl z mal als
z=(u,v)=a+i*b. Die Zahl 1 im Zähler kann ja auch einfach als komplexe Zahl (1,0), ohne Imaginärteil schreiben. Also:
[mm] \bruch{(1,0)}{(a,b)} [/mm] --> Also eine Division 2er komplexer Zahlen.
Wenn ich den Quotient aus (1,0) und (u,v) r nenne mit r=x+i*y
dann erhalte ich [mm] x=\bruch{a}{a^2+b^2} [/mm] und [mm] y=\bruch{-b}{a^2+b^2}
[/mm]
Also [mm] r=\bruch{a}{a^2+b^2}+i*\bruch{-b}{a^2+b^2}.
[/mm]
Was mich hieran noch stört ist der Nenner: Das konjugierte Element [mm] \overline{z} [/mm] wird hier durch (a,-b) gezeigt, allerdings ist sowohl real als auch imaginärteil als Bruch dargestellt...
Wie bekomme ich diesen Weg? Darf ich hier, wie bei den reellen Zahlen einfach mit dem Hauptnenner durchmultiplizieren, sodass der Nenner wegfällt?
Und die nächste Frage zum 2. Teil der Aufgabe:
Ich weiß ja, dass z [mm] \varepsilon S^1, [/mm] aber woher weiß ich nun, dass [mm] z^{-1} [/mm] auch
[mm] \varepsilon S^1?
[/mm]
Danke schonmal im Voraus!
Liebe Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:10 Di 26.10.2010 | | Autor: | wauwau |
also das ist ja einfacher als du gedacht hast:
du weißt ja dass [mm] $\vmat{\frac{a}{b}}=\frac{|a|}{|b|}$
[/mm]
daher [mm] $|z^{-1}| [/mm] = [mm] \vmat{\frac{1}{z}}=\frac{|1|}{|z|} [/mm] = 1$
daher [mm] $z^{-1} \in S^{-1}$
[/mm]
des weiteren weißt du:
$ |a.b| = |a||b| $ und [mm] $a.\overline{a}=|a|^2$
[/mm]
$z$ und [mm] $\overline{z}$ [/mm] eingesetzt ergibt [mm] $\overline{z} \in S^{-1}$
[/mm]
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| Aufgabe | Beweisen Sie:
b)z*w [mm] \varepsilon S^{1} [/mm] und
[mm] c)\bruch{z}{w} \varepsilon S^{1} [/mm] |
Hallo:
zu b)
damit z*w [mm] \varepsilon S^{1} [/mm] muss ja gelten:
|z*w| =1, da die Einheitssphäre ja schon mit [mm] S^1=\{z\varepsilon \IC | |z|= 1\}
[/mm]
definiert wurde und z,w [mm] \varepsilon S^1 [/mm] ?!
Also kann ich den Satz: |z*w|=|z|*|w| und ich weiß bereits |z|=1
über w weiß ich allerdings nur w [mm] \varepsilon S^1...
[/mm]
Wie beweise ich nun?
Liebe Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:47 Mi 27.10.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
da ja auch w aus [mm] S_1 [/mm] ist weisst du auch |w|=1
(es kommt doch nicht auf den namen der Zahl an.
allerdings ist dabei vorrusgesetzt, dass ihr schon |a*b|=|a|*|b| gezeigt habt für komplexe Zahlen.
Gruss leduart
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Dass |w*z|= |w|*|z| ist, hatten wir schon vorausgesetzt, ja.
Aber dadurch, dass w [mm] \varepsilon S^1 [/mm] weiß ich doch nur, dass der Betrag maximal eins ist, oder? D.h. er könnte auch kleiner sein!?
Was widerrum bedeuten würde, dass ich nicht einfach sagen kann |w|=1, da der Betrag zwar keinesfalls größer ist aber möglicherweise auch kleiner?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:01 Mi 27.10.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nein! mit [mm] S_1 [/mm] ist NICHT die Einheitskreisscheibe gemeint, sondern der (1dimensionale, deshalb [mm] S_1) [/mm] Einheitskreis.
du hast doch selst geschrieben ;$ [mm] S^1= \{ z \varepsilon \IC ||z| = 1\}. [/mm] $
in dieser Definition kann man natürlich z durch jeden beliebigen buchstaben oder anderes zeichen ersetzen.
Gruss leduart
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Wie beweise in nun:
[mm] \bruch{z}{w} \varepsilon S^1?
[/mm]
Kann ich so argumentieren:
[mm] |\bruch{z}{w}|= \bruch{|z|}{|w|}= \bruch{1}{1}=1
[/mm]
[mm] \Rightarrow \bruch{z}{w} \varepsilon S^1?
[/mm]
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:31 Do 28.10.2010 | | Autor: | leduart |
Richtig, oder du benutzt die 2 vorigen Punkte
weil z/w=z*1/w
Gruss eduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:37 Do 28.10.2010 | | Autor: | Theoretix |
Dankeschön!
Gruß
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