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Beweisen: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:43 Sa 30.10.2010
Autor: Peter22

Aufgabe
Beweisen Sie, dass für alle [mm] n\in\IN [/mm] gilt
[mm] n!\le2(\bruch{n}{2})^{n} [/mm]

[mm] n!\le\bruch{n^{n}}{2^{n-1}} [/mm]
[mm] (n-1)!\le\bruch{1}{2^{n-1}} [/mm]

Ist das so weit richtig?
Kann ich jetzt die Vollständige Inuktion anwenden?
Danke schon mal im Voraus für eure Hilfe

# Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Beweisen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:07 So 31.10.2010
Autor: leduart

Hallo
Du hast nur die Formeln umgeschrieben, das leider falsch

1, für n=1 fesstellen ob es richtig ist
2. Ind. Vorraussetzung [mm] $n!\le\bruch{n^{n}}{2^{n-1}}$ [/mm]
daraus dabb die Ind.behauptung  [mm] $(n+1)!\le\bruch{(n+1)^{n+1}}{2^{n}}$ [/mm]

> Beweisen Sie, dass für alle [mm]n\in\IN[/mm] gilt
>  [mm]n!\le2(\bruch{n}{2})^{n}[/mm]
>  [mm]n!\le\bruch{n^{n}}{2^{n-1}}[/mm]
> $ [mm] (n-1)!\le\bruch{1}{2^{n-1}} [/mm] $

das ist falsch, richtig wäre $ [mm] (n-1)!\le\bruch{(n-1)^{n-1}}{2^{n-1}} [/mm] $

>  
> Ist das so weit richtig?

Nein du kannst von n auf n+1 schliessen, oder von n-1 auf n
in die formeln dann überall wo n steht entsprechend n+1 bze n-1 eintragen.
Gruss leduart


Bezug
                
Bezug
Beweisen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:47 Mi 03.11.2010
Autor: Peter22

[mm] n!=\produkt_{i=1}^{n}i [/mm]

Induktions Anfang
n= 1
[mm] \produkt_{i=1}^{1}i=1 [/mm]
[mm] 2(\bruch{1}{2})^{1}=1 [/mm]

[mm] 1\le1 [/mm]

Ind. Schritt

[mm] n\mapston+1 [/mm]

[mm] \produkt_{i=1}^{n+1}i\le2(\bruch{n+1}{2})^{n+1}=2(\bruch{n+1}{2})^{n}(\bruch{n+1}{2})=(\bruch{n+1}{2})^{n}(n+1)=(n+1)(\bruch{n+1}{2})^{n} [/mm]

[mm] \produkt_{i=1}^{n+1}i=\produkt_{i=1}^{n}i*(n+1)\le2(\bruch{n}{2})^{n}(n+1)= [/mm] ... ?

So ist das soweit richtig?
Aber weiter komm ich einfach nicht.
Kann mir da jemand einen Tipp geben?


Bezug
                        
Bezug
Beweisen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:40 Do 04.11.2010
Autor: fred97


> [mm]n!=\produkt_{i=1}^{n}i[/mm]
>  
> Induktions Anfang
>  n= 1
>  [mm]\produkt_{i=1}^{1}i=1[/mm]
>  [mm]2(\bruch{1}{2})^{1}=1[/mm]
>  
> [mm]1\le1[/mm]
>  
> Ind. Schritt
>  
> [mm]n\mapston+1[/mm]
>  
> [mm]\produkt_{i=1}^{n+1}i\le2(\bruch{n+1}{2})^{n+1}=2(\bruch{n+1}{2})^{n}(\bruch{n+1}{2})=(\bruch{n+1}{2})^{n}(n+1)=(n+1)(\bruch{n+1}{2})^{n}[/mm]

Beim ersten " [mm] \le [/mm] " verwendest Du , was zu zeigen ist !! So gehts nicht.


>  
> [mm]\produkt_{i=1}^{n+1}i=\produkt_{i=1}^{n}i*(n+1)\le2(\bruch{n}{2})^{n}(n+1)=[/mm]
> ... ?


Schon besser !


Jetzt zeige noch:  


                (*)    [mm] 2(\bruch{n}{2})^{n}(n+1) \le 2(\bruch{n+1}{2})^{n+1}(n+1) [/mm]

Durch einfache Äquivalenzumformungen sieht man:

         (*)   [mm] \gdw $(n+1)(n+1)^{n+1} \ge 2*n^n$ [/mm]

Die letzte Ungl. ist aber zweifelsohne richtig. Warum ?

FRED

>  
> So ist das soweit richtig?
>  Aber weiter komm ich einfach nicht.
>  Kann mir da jemand einen Tipp geben?
>  


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