Beweisen einer Ungleichung < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Beweise: $ [mm] \bruch{n^{2}x^{2}}{4} \le (x+1)^{n} [/mm] $
Dabei sei x $ [mm] \ge [/mm] $ 0, n $ [mm] \ge [/mm] $ 2 ; n Element von [mm] $\IN [/mm] $ und x Element von [mm] $\IR [/mm] $ |
Guten Abend allerseits!
Gegebene Aufgabe hat mich heute im Tutorium konfrontiert, jetzt sitze ich hier und scheitere dran.
Der Tutor meinte ich könne die binomischen Formeln oder Induktion verwenden?
Was ich bisher habe:
1. ungleichung gedreht
$ [mm] (x+1)^{n} \ge \bruch{n^{2}x^{2}}{4} [/mm] $
2. Für den Fall n=2 ergibt sich:
[mm] $(x+1)^{2} \ge x^{2}$
[/mm]
$ 2x + 1 [mm] \ge [/mm] 0 $
3. Jetzt hätte ich auf die Ungleichung die binomischen Formeln angewandt.
Also:
$ [mm] \summe_{i=1}^{n} \vektor{n \\ i} \* 1^{n} \* x^{n-i} \ge \bruch{n^{2}x^{2}}{4} [/mm] $
$ [mm] \summe_{i=1}^{n} \vektor{n \\ i} \* 1^{n} \* x^{n-i} [/mm] - [mm] \bruch{n^{2}x^{2}}{4} \ge [/mm] 0 $
Äh, und jetzt? Wie kann man das denn vereinfachen? Und was soll ich hier mit Induktion?
Wäre sehr lieb von euch, wenn mir jemand ein bisschen auf die Sprünge helfen würde :)
Und neine Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:44 Mi 24.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Beweise: [mm]\bruch{n^{2}x^{2}}{4} \le (x+1)^{n}[/mm]
> Dabei sei x
> [mm]\ge[/mm] 0, n [mm]\ge[/mm] 2 ; n Element von [mm]\IN[/mm] und x Element von [mm]\IR[/mm]
> Guten Abend allerseits!
>
> Gegebene Aufgabe hat mich heute im Tutorium konfrontiert,
> jetzt sitze ich hier und scheitere dran.
>
> Der Tutor meinte ich könne die binomischen Formeln oder
> Induktion verwenden?
>
>
> Was ich bisher habe:
>
> 1. ungleichung gedreht
>
> [mm](x+1)^{n} \ge \bruch{n^{2}x^{2}}{4}[/mm]
>
> 2. Für den Fall n=2 ergibt sich:
>
> [mm](x+1)^{2} \ge x^{2}[/mm]
> [mm]2x + 1 \ge 0[/mm]
>
> 3. Jetzt hätte ich auf die Ungleichung die binomischen
> Formeln angewandt.
>
> Also:
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n} \vektor{n \\ i} \* 1^{n} \* x^{n-i} \ge \bruch{n^{2}x^{2}}{4}[/mm]
Achte drauf, dass der untere Index der Summe stimmt!
> [mm]\summe_{i=1}^{n} \vektor{n \\ i} \* 1^{n} \* x^{n-i} - \bruch{n^{2}x^{2}}{4} \ge 0[/mm]
>
> Äh, und jetzt? Wie kann man das denn vereinfachen? Und was
> soll ich hier mit Induktion?
Na, alternativ kann man hier einen Induktionsbeweis führen. Du hast Dich
halt für eine andere Variante entschieden!
> Wäre sehr lieb von euch, wenn mir jemand ein bisschen auf
> die Sprünge helfen würde :)
>
> Und neine Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Und jetzt schreiben wir das obige mal zu Ende:
Zunächst sei mal erwähnt, dass die Ungleichung für [mm] $n=0,1\,$ [/mm] direkt
nachgerechnet werden kann.
Für jedes $n [mm] \in \IN_0$ [/mm] gilt
[mm] $$(x+1)^n=\sum_{k=0}^n [/mm] {n [mm] \choose [/mm] k} [mm] x^k\,,$$
[/mm]
und ist nun $n [mm] \ge 2\,,$ [/mm] so kann man abschätzen, weil ja $x [mm] \ge [/mm] 0$ und
damit auch jeder Summand [mm] $\ge [/mm] 0$ ist
[mm] $$(x+1)^n=\sum_{k=0}^n [/mm] {n [mm] \choose [/mm] k} [mm] x^k \ge [/mm] {n [mm] \choose 2}x^2=\frac{n*(n-1)}{2}x^2\,.$$
[/mm]
Wenn Du nun also begründest, warum für $n [mm] \ge [/mm] 2$ auch [mm] $\frac{n(n-1)}{2} \ge \frac{n^2}4$ [/mm] ist, bist Du fertig...
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:26 Mi 24.10.2012 | | Autor: | notamused |
DANKE!
Ich habe einfach viel zu kompliziert gedacht, manchmal sieht man den Wald vor lauter Bäumen nicht...
|
|
|
| |
|
Okay, bei Tageslicht muss ich feststellen, dass ich einen Schritt doch noch nicht verstanden habe.
> so kann man abschätzen, weil ja [mm]x \ge 0[/mm] und
> damit auch jeder Summand [mm]\ge 0[/mm] ist
> [mm] $(x+1)^n=\sum_{k=0}^n [/mm] {n [mm] \choose [/mm] k} [mm] x^k \ge [/mm] {n [mm] \choose 2}x^2=\frac{n*(n-1)}{2}x^2\ [/mm] $
Wie kann ich das denn abschätzen?
Warum brauche ich hier kein Summenzeichen mehr und darf für k 2 einsetzen?
Der übrige Lösungsweg wäre mir klar, aber gibt es da noch einen mh anschaulichen Zwischenritt, der mir gerade entgangen ist?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:13 Do 25.10.2012 | | Autor: | fred97 |
Angenommen, Du hast n+1 (n [mm] \ge [/mm] 1) Zahlen [mm] a_0,...,a_n, [/mm] die alle [mm] \ge [/mm] 0 sind.
Dann gilt doch für jedes k [mm] \in \{0,...,n\}:
[/mm]
[mm] a_0+a_1+...+a_n \ge a_k
[/mm]
Das gilt auch für k=2
FRED
|
|
|
| |
|
Ich sehe schon, da habe ich echt Lücken.
> Angenommen, Du hast n+1 (n $ [mm] \ge [/mm] $ 1) Zahlen $ [mm] a_0,...,a_n,$ [/mm] die
> alle $ [mm] \ge [/mm] $ 0 sind.
Okay.
>
> Dann gilt doch für jedes k $ [mm] \in \{0,...,n\}:$
[/mm]
> $ [mm] a_0+a_1+...+a_n \ge a_k [/mm] $
Warum? Woraus genau folgt das? Ich befürchte ich erkenne den Bezug nicht.
> Das gilt auch für k=2
Ist k=2 dann eine willkürliche Wahl? Oder gibt es einen bestimmten Grund?
- Melanie
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:31 Do 25.10.2012 | | Autor: | fred97 |
> Ich sehe schon, da habe ich echt Lücken.
>
> > Angenommen, Du hast n+1 (n [mm]\ge[/mm] 1) Zahlen [mm]a_0,...,a_n,[/mm] die
> > alle [mm]\ge[/mm] 0 sind.
>
> Okay.
>
> >
> > Dann gilt doch für jedes k [mm]\in \{0,...,n\}:[/mm]
>
>
> > [mm]a_0+a_1+...+a_n \ge a_k[/mm]
>
> Warum? Woraus genau folgt das? Ich befürchte ich erkenne
> den Bezug nicht.
Wenn Du n Eimer hast, jeder davon ist mit Wasser gefüllt, dann haben doch die n Eimer zusammen mehr Wasser zum Inhalt als jeder einzelne Eimer.
>
> > Das gilt auch für k=2
>
> Ist k=2 dann eine willkürliche Wahl? Oder gibt es einen
> bestimmten Grund?
In obigem Beweis wurde k=2 gewählt, weil der Beweis damit funktioniert.
FRED
>
>
> - Melanie
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:58 Do 25.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich sehe schon, da habe ich echt Lücken.
>
> > Angenommen, Du hast n+1 (n [mm]\ge[/mm] 1) Zahlen [mm]a_0,...,a_n,[/mm] die
> > alle [mm]\ge[/mm] 0 sind.
>
> Okay.
>
> >
> > Dann gilt doch für jedes k [mm]\in \{0,...,n\}:[/mm]
>
>
> > [mm]a_0+a_1+...+a_n \ge a_k[/mm]
>
> Warum? Woraus genau folgt das? Ich befürchte ich erkenne
> den Bezug nicht.
weil alle [mm] $a_j \ge [/mm] 0$ sind, gilt INSBESONDERE auch [mm] $\sum_{\substack{j=1\\\red{j \not=k}}}^n a_j \ge 0\,.$ [/mm] Addiere nun auf beiden Seiten [mm] $a_k\,.$
[/mm]
> > Das gilt auch für k=2
>
> Ist k=2 dann eine willkürliche Wahl? Oder gibt es einen
> bestimmten Grund?
Weil es für [mm] $k=2\,$ [/mm] zum Ziel führte... Du musst auch ein bisschen lernen,
zu gucken: "Wo will ich eigentlich hin, und welches Mittel würde mir dabei
helfen. Und dann natürlich auch nochmal zu testen: Ist dieses Hilfsmittel
denn ERLAUBT? (Also: "Gilt das, was ich da verwenden will, überhaupt?"
Diese Frage solltest Du zu beantworten versuchen, und wenn sie mit "Ja!"
beantwortet werden kann/darf, bist Du glücklich!)"
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:06 Do 25.10.2012 | | Autor: | notamused |
Okay, danke nochmal an euch beide, jetzt habe ich es wirklich verstanden.
Ja, da habe ich wohl noch einiges zu üben - ich arbeite dran :)
|
|
|
|
