Beweisen mit Körperaxiomen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Für n [mm] \in [/mm] {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} bezeichne [mm] \bar n [/mm] doe Menge der natürlichen Zahlen, die bei Division durch 7 den Rest [mm] \bar n [/mm] lassen, also etwa [mm] \bar 3 = \{ 3, 10, 17, 24, 31, 38, ... \} [/mm]. Bezeichen K := [mm] \{ \bar 0 , \bar 1 , \bar 2 , \bar 3 , \bar 4 , \bar 5 , \bar 6 \} [/mm]. Zu [mm] \bar n , \bar m \in [/mm] K exisitiert eine eindeuting bestimmte Zahl k [mm] \in \{ [/mm] 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 [mm] \} [/mm] mit n + m = [mm] \bar k [/mm] . Wir definieren [mm] \bar n + \bar m := \bar k [/mm] . Analog sei [mm] \bar n \cdot \bar m [/mm] definiert durch [mm] \bar n \cdot \bar m := \bar l [/mm] . Zeigen Sie, dass K mit den so definierten Verknüpfungen + und [mm] \cdot [/mm] die Körperaxiome (1.1) - (1.9) (mit K anstelle von [mm] \IR [/mm]) erfüllt. (Das Rechnen mit ganzen Zahlen sei in dieser Aufgabe als bekannt vorausgesetzt.) |
Hey :)
Also ich weiß, dass beide Definitionen [mm] \bar n + \bar m := \bar k [/mm] und [mm] \bar n \cdot \bar m := \bar l [/mm] zutreffen, wenn ich mit den Zahlen (aus den "Resten") rechne. Allerdings weiß ich nicht, wie ich das anhand der Axiome beweisen kann.
Und an der Stelle brauche ich eure Hilfe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:59 Mo 29.10.2012 | | Autor: | hippias |
> Für n [mm]\in[/mm] {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} bezeichne [mm]\bar n[/mm] doe Menge
> der natürlichen Zahlen, die bei Division durch 7 den Rest
> [mm]\bar n[/mm] lassen, also etwa [mm]\bar 3 = \{ 3, 10, 17, 24, 31, 38, ... \} [/mm].
> Bezeichen K := [mm]\{ \bar 0 , \bar 1 , \bar 2 , \bar 3 , \bar 4 , \bar 5 , \bar 6 \} [/mm].
> Zu [mm]\bar n , \bar m \in[/mm] K exisitiert eine eindeuting
> bestimmte Zahl k [mm]\in \{[/mm] 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 [mm]\}[/mm] mit n + m =
> [mm]\bar k[/mm] . Wir definieren [mm]\bar n + \bar m := \bar k[/mm] . Analog
> sei [mm]\bar n \cdot \bar m[/mm] definiert durch [mm]\bar n \cdot \bar m := \bar l[/mm]
> . Zeigen Sie, dass K mit den so definierten Verknüpfungen
> + und [mm]\cdot[/mm] die Körperaxiome (1.1) - (1.9) (mit K anstelle
> von [mm]\IR [/mm]) erfüllt. (Das Rechnen mit ganzen Zahlen sei in
> dieser Aufgabe als bekannt vorausgesetzt.)
> Hey :)
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> Also ich weiß, dass beide Definitionen [mm]\bar n + \bar m := \bar k[/mm]
> und [mm]\bar n \cdot \bar m := \bar l[/mm] zutreffen, wenn ich mit
> den Zahlen (aus den "Resten") rechne. Allerdings weiß ich
> nicht, wie ich das anhand der Axiome beweisen kann.
>
> Und an der Stelle brauche ich eure Hilfe.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Nur damit kein Missverstaendnis entsteht: Du sollst nicht die neuen Rechenregeln fuer $K$ aus den Axiomen nachweisen, sondern genau umgekehrt fuer die obigen Additions/Multiplikationsregeln die Axiome nachweisen.
Z.B. geht dies so: Eines der Axiome wird ungefaehr lauten: Fuer alle [mm] $x,y\in [/mm] K$ gilt $x+y= y+x$: Seien dazu [mm] $n,m\in\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ [/mm] und sei [mm] $k\in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ [/mm] der Rest der Division von $n+m$ mit $7$, d.h. $n+m= 7q+k$, wobei $q$ eine natuerliche Zahl ist. Die Bekanntheit der Addition der ganzen Zahlen vorausgesetzt, ergibt sich, dass $n+m= m+n$ ist, also folglich das gleiche $k$ der Rest der Division von $m+n$ mit $7$ ist.
Somit ergibt sich nach Definition der Addition in $K$, dass [mm] $\bar{n}+\bar{m}= \bar{k}= \bar{m}+\bar{n}$ [/mm] gilt. Da $n,m$ beliebig waren, gilt also fuer alle [mm] $x,y\in [/mm] K$, dass $x+y= y+x$ ist.
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