Beweisen mit der Aussagenlogik < Aussagenlogik < Logik < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:48 Do 22.04.2010 | | Autor: | Dem36 |
| Aufgabe |
G [mm] \backslash [/mm] (N [mm] \cap [/mm] M) = (G [mm] \backslash [/mm] M) [mm] \cup [/mm] (G [mm] \backslash [/mm] N)
Beweisen Sie. Begründen Sie mit der Aussagenlogik. Begründen Sie evtl. benötigte und noch
nicht bekannte Umformungen von Aussagen mit der Wahrheitstafel.
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Ich war verreist und habe letzte Woche die Vorlesung verpasst und habe keine Mitschriften.Ich habe die Aufgabe versucht mit der Wahrheitstafel zu lösen,und auch so abgegeben war aber falsch.Wie müsste ich denn vorangehen? Wie kann man denn mit der Aussagenlogik begründen? Mit Symbolen konnte ich die Aufgabe nicht schreiben Danke..
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Mit
> Symbolen konnte ich die Aufgabe nicht schreiben Danke..
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Ich habe Deine Aufgabenstellung bearbeitet.
Wenn Du auf "Quelltext" klickst, siehst Du, wie ich die Symbole gemacht habe.
Falls Du länger bei uns bleibst und weitere Posts schreibst, beachte die Eingabehilfen unter dem Eingabefenster.
Die gebräuchlichsten Symbole sind dort vorbereitet.
Gruß v. Angela
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Hallo Dem36,
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> [mm] $G\setminus (N\cap [/mm] M) \ = \ [mm] (G\setminus M)\cup (G\setminus [/mm] N)$
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> Beweisen Sie. Begründen Sie mit der Aussagenlogik.
> Begründen Sie evtl. benötigte und noch
> nicht bekannte Umformungen von Aussagen mit der
> Wahrheitstafel.
>
>
> Ich war verreist und habe letzte Woche die Vorlesung
> verpasst und habe keine Mitschriften.Ich habe die Aufgabe
> versucht mit der Wahrheitstafel zu lösen,und auch so
> abgegeben war aber falsch.Wie müsste ich denn vorangehen?
> Wie kann man denn mit der Aussagenlogik begründen? Mit
> Symbolen konnte ich die Aufgabe nicht schreiben Danke..
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Nun, du musst ja eine Mengengleichheit zeigen, also die Teilmengenbeziehung in beide Richtungen, dh. zeige:
1) [mm] $G\setminus (N\cap [/mm] M) \ [mm] \subset [/mm] \ [mm] (G\setminus M)\cup (G\setminus [/mm] N)$ und
2) [mm] $(G\setminus M)\cup (G\setminus [/mm] N) \ [mm] \subset [/mm] \ [mm] G\setminus (N\cap [/mm] M)$
Ich zeige dir mal 1) ...
zz.: [mm] $x\in G\setminus (N\cap [/mm] M) \ [mm] \Rightarrow [/mm] \ [mm] x\in \left[(G\setminus M)\cup (G\setminus N)\right]$
[/mm]
Sei also [mm] $x\in G\setminus (N\cap [/mm] M)$
[mm] $\Rightarrow x\in [/mm] G [mm] \wedge x\notin (N\cap [/mm] M)$ nach Definition [mm] "\setminus"
[/mm]
[mm] $\Rightarrow x\in G\wedge (x\notin N\vee x\notin [/mm] M)$ nach den de Morganschen Regeln
[mm] $\Rightarrow (x\in G\wedge x\notin [/mm] N) \ [mm] \vee (x\in G\wedge x\notin [/mm] M)$ nach log. Distributivgesetz
[mm] $\Rightarrow x\in (G\setminus [/mm] N) \ [mm] \vee [/mm] \ [mm] x\in (G\setminus [/mm] M)$ wieder Definition [mm] "\setminus"
[/mm]
[mm] $\Rightarrow x\in \left[(G\setminus M)\cup (G\setminus N)\right]$
[/mm]
Nun versuche du mal die andere Richtung ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:16 Fr 23.04.2010 | | Autor: | Dem36 |
Zu Zeigen:
$x [mm] \in \left[\left(G\backslash M \right) \cup \left(G\backslash N \right)\right] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] G [mm] \backslash \left(N \cap M \right)$
[/mm]
Sei also $x [mm] \in \left[\left(G\backslash M \right) \cup \left(G\backslash N \right)\right]$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \left(x \in G \wedge x \not\in M \right) \cup \left(x \in G \wedge x \not\in N \right)$ [/mm] nach Definition
[mm] $\Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] G [mm] \wedge \left(x \not\in M \cap x \not\in N \right)$ [/mm] nach Distributivgesetz
[mm] $\Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] G [mm] \backslash \left(N \cap M \right)$
[/mm]
Ist das so richtig? und müsste ich denn x nicht definieren oder so?
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Hallo,
Du solltest Dir zunächst einmal den Unterschied klarmachen zwischen den Zeichen [mm] \cap, \cup [/mm] und [mm] \vee, \wedge.
[/mm]
Erstere sind Mengenoperationen, zweitere logische Verknüpfungen.
Der Ausdruck [mm] "x\in [/mm] A [mm] \cup x\in [/mm] B" beispielsweise ist sinnlos - wenn ich auch gut verstehe, was gemeint sein soll.
Durchforste Deinen Beweis mal selbst im Hinblick auf dieses Problem, ich lasse das jetzt einfach mal so stehen.
> Zu Zeigen:
> [mm]x \in \left[\left(G\backslash M \right) \cup \left(G\backslash N \right)\right] \Rightarrow x \in G \backslash \left(N \cap M \right)[/mm]
>
> Sei also [mm]x \in \left[\left(G\backslash M \right) \cup \left(G\backslash N \right)\right][/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \left(x \in G \wedge x \not\in M \right) \cup \left(x \in G \wedge x \not\in N \right)[/mm]
> nach Definition
Das geht zu schnell. Es fehlt ein Zwischenschritt.
> [mm]\Rightarrow x \in G \wedge \left(x \not\in M \cap x \not\in N \right)[/mm]
> nach Distributivgesetz
Du wendest das Distributivgesetz nicht richtig an.
> [mm]\Rightarrow x \in G \backslash \left(N \cap M \right)[/mm]
Wie begründest Du diesen Schritt?
>
> Ist das so richtig?
Im Moment noch nicht.
> und müsste ich denn x nicht definieren
> oder so?
Du hast doch gesagt, welcher Menge es entstammen soll.
muß man ja dasmuß man ja das
Mal prinzipiell:
Die Aufgabe riecht ganz stark nach Studienanfang - in der Zeit zu verreisen, war keine so ganz gute Idee...
Du mußt Dir unbedingt die Mitschrift besorgen, denn in den Hausübungen darf man ja nur das verwenden, was in der Vorlesung dran war.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:08 Fr 23.04.2010 | | Autor: | Dem36 |
Sei also ....
[mm] $\Rightarrow x\in \left(G\backslash M\right) \cup x\in \left(G\backslash N\right)$ [/mm] nach Definition
[mm] $\left(x\in G \wedge x \not\in M\right) \cup \left(x\in G \wedge x \not\in N \right)$ [/mm] nach Definition
$x [mm] \in [/mm] G [mm] \wedge \left(x \not\in M \cup x \not\in N\right)$ [/mm] nach Distributivgesetz
$x [mm] \in [/mm] G [mm] \wedge [/mm] x [mm] \not\in \left(M \cap N\right)$ [/mm] nach De Morganschen Regeln
[mm] $x\in [/mm] G [mm] \backslash \left(M \cap N\right)$ [/mm] nach Definition
Ist es so richtig? für den letzten Schritt habe ich keine Begründung als die Definition für den Schritt gefunden
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Hallo nochmal,
schön, dass du ein nettes "Hallo" und ein kleines "Danke für die bisherige Hilfe" für uns übrig hast ...
> Sei also ....
> [mm]\Rightarrow x\in \left(G\backslash M\right) \cup x\in \left(G\backslash N\right)[/mm] nach Definition
> [mm]\left(x\in G \wedge x \not\in M\right) \cup \left(x\in G \wedge x \not\in N \right)[/mm] nach Definition
Hier vermischt du wieder die Ebenen, auf denen du dich bewegst, wenn du mit [mm] $x\in [/mm] ...$ arbeitest, bist du auf der Ebene der Aussagen (auf der sollst du das ja lt. Aufgabenstellung zeigen).
Da gibts die Zeichen [mm] $\vee, \wedge, \neg [/mm] ...$
Wenn nicht mit Elementen arbeitest, bist du auf der Mengenebene, dort sind die Zeichen entsprechend [mm] $\cup, \cap [/mm] ...$
In Schritt 1 und 2 willst du jeweils zwei Aussagen vereinigen, das geht nicht!
Du meinst es aber wohl richtig, musst es nur genau aufschreiben, etwa so:
Sei [mm] $x\in \left[(G\setminus M)\cup(G\setminus N)\right]$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow x\in (G\setminus [/mm] M) [mm] \vee x\in (G\setminus [/mm] N)$ nach Definition [mm] "\cup"
[/mm]
Nun aufdröseln:
[mm] $\Rightarrow \left(x\in G\wedge x\notin M\right) [/mm] \ [mm] \vee [/mm] \ [mm] \left(x\in G\wedge x\notin N\right)$
[/mm]
Hier schaue nochmal scharf aufs Distributivgesetz (klammere distributiv aus!)
[mm] $\Rightarrow x\in G\wedge\left(x\notin M\vee x\notin N\right)$
[/mm]
Das schreiben wir ein bisschen anders, damit du besser erkennen kannst, dass hier DeMorgan hilft:
[mm] $\gdw x\in G\wedge\left(\neg [x\in M]\vee\neg [x\in N]\right)$
[/mm]
Nun DeMorgan:
[mm] $\Rightarrow x\in G\wedge\left(\neg\left[x\in M\wedge x\in N\right]\right)$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow x\in G\wedge\left(\neg [x\in(M\cap N)]\right)$ [/mm] Def. [mm] "\cap"
[/mm]
Und nun ist [mm] $\neg [x\in [/mm] ...]$ dasselbe wie [mm] $x\notin [/mm] ...$
Mach's ab hier mal fertig ...
> [mm]x \in G \wedge \left(x \not\in M \cup x \not\in N\right)[/mm]
> nach Distributivgesetz
> [mm]x \in G \wedge x \not\in \left(M \cap N\right)[/mm] nach De
> Morganschen Regeln
> [mm]x\in G \backslash \left(M \cap N\right)[/mm] nach Definition
>
>
> Ist es so richtig? für den letzten Schritt habe ich keine
> Begründung als die Definition für den Schritt gefunden
Gruß
schachuzipus
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