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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:46 So 19.04.2015 | | Autor: | igomane |
| Aufgabe | (i) A ⊆ B
(ii) A ∩ B = A
(iii) A ∪ B = B
(iv) A ∩ (X \ B) = ∅
(v) (X \ A) ∪ B = X |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hi Leute ich habe eine Frage zu dieser Aufgabe. Ich studiere Informatik im ersten Semester und habe bei dieser Aufgabe schwierigkeiten die wie folgt lautet: Es seien A, B Teilmengen einer Menge X. Beweisen sie ob folgende Aussagen äquivalent sind.
Da steht noch es reicht zu zeigen: (i) => (ii) => (iii) => (iv) => (v)
Hoffe ihr könnt mir helfen
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Hallo,
was ist denn allgemein zu tun, wenn du zeigen sollst, dass etwa die beiden Aussagen A und B äquivalent sind? Also
[mm] $A\Leftrightarrow [/mm] B$ gilt?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:53 So 19.04.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> was ist denn allgemein zu tun, wenn du zeigen sollst, dass
> etwa die beiden Aussagen A und B äquivalent sind? Also
>
> [mm]A\Leftrightarrow B[/mm] gilt?
A und B sind doch Mengen !!!!
FRED
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Du hast recht, es war ungeschickt die selben Bezeichner für die Aussagen zu wählen, welche bereits für die Mengen genommen wurde.
Ich wollte die Frage eigentlich allgemein stellen, also unabhängig von der zugrunde liegenden Aufgabenstellung.
Das ist aber wohl zu verwirrend.
Entschuldigung.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:55 So 19.04.2015 | | Autor: | fred97 |
Z.B. für die Äquivalenz von (i) und (ii) ist zu Zeigen:
1. aus A ⊆ B folgt A ∩ B = A
und
2. aus A ∩ B = A folgt A ⊆ B.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:01 So 19.04.2015 | | Autor: | igomane |
Danke für die Antwort.
Und wie geht es dann weiter bei (ii) => (iii) ??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:02 So 19.04.2015 | | Autor: | fred97 |
> Danke für die Antwort.
>
> Und wie geht es dann weiter bei (ii) => (iii) ??
Hier ist zu zeigen:
aus A ∩ B = A folgt A ∪ B = B
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:11 So 19.04.2015 | | Autor: | igomane |
Muss man dabei was besonderes beachten ??? Weil das kommt mir zu einfach vor so wie es da geschrieben wird.
Dann wäre der Schritt (iii) => (iv)
Aus A ∪ B = B folgt A ∩ (X \ B) = ∅
Oder ??
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> Dann wäre der Schritt (iii) => (iv)
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> Aus A ∪ B = B folgt A ∩ (X \ B) = ∅
>
> Oder ??
Nein, jedenfalls nicht wenn du es so meinst wie ich denke.
Und ich befürchte, dass dies dein Beweis sein soll.
Natürlich ist dies kein Beweis.
Wenn du zeigen möchtest, dass III) => IV) gilt, dann ist deine Voraussetzung die Aussage aus III), also das
[mm] $A\cap [/mm] B=A$
gilt.
Diese Information (und das [mm] $A,B\subseteq [/mm] X$ gilt) und nur diese, benutzt du nun um zu folgern, dass dann auch [mm] $A\cup [/mm] B=B$ gilt.
Dazu benutzt du die jeweiligen Definitionen der Schnittmenge und Vereinigungsmenge.
Beginne also so:
Sei [mm] $x\in A\cap [/mm] B=A$, dann gilt ...
Natürlich musst du auch I) => II) noch richtig zeigen, falls noch nicht geschehen.
Die Aufgabe löst du dann etwa durch einen sogenannten Ringschluss-Beweis. Also das du zeigst:
I) => II) => III) => IV) => V) => I)
Edit: Eine Aussage in der Kette vergessen. Wurde korrigiert.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:31 So 19.04.2015 | | Autor: | igomane |
Sry für das Nachfragen aber ich bräuchte eine ausführliche Lösung wie das von (i) bis (v) aussieht. Weil ich bei der Einführungsvorlesung nicht dabei war.
Bin ziemlich durcheinander gerade
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Der Sinn der meisten Mathematik Foren ist es, dir bei deiner Lösung der Aufgabe zur Seite zu stehen, und keine komplett Lösungen zu liefern.
Wenn du uns zeigst, was du probiert hast, dann kann man damit weiterarbeiten, dir sagen was falsch oder richtig ist und dir effizient helfen so, dass du auch folgende Aufgaben, die nach dem gleichen Prinzip ablaufen eigenständig lösen kannst.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:32 So 19.04.2015 | | Autor: | DieAcht |
Hallo igomane und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Da steht noch es reicht zu zeigen: (i) => (ii) => (iii) => (iv) => (v)
Das reicht nicht. Zu zeigen bleibt: (v) => (i).
Du kannst auch gerne hier deine Überlegungen aufschreiben. Wir
können diese dann auch korrigieren.
Gruß
DieAcht
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:19 So 19.04.2015 | | Autor: | tobit09 |
Hallo igomane und auch von mir ein herzliches !
Ich entnehme einem Beitrag von dir, dass du eine Vorlesung verpasst hast.
Dann solltest du dir, falls noch nicht geschehen, dringend eine Vorlesungsmitschrift besorgen und sie gründlich nacharbeiten.
Natürlich ist ein Lösen dieser Aufgabe aussichtslos, solange du die Bedeutung der auftretenden Zeichen nicht kennst.
Du wirst bei dieser Aufgabe immer wieder die Gleichheit zweier Mengen zeigen müssen.
Zwei Mengen M und N sind genau dann gleich, wenn [mm] $M\subseteq [/mm] N$ und [mm] $N\subseteq [/mm] M$ gilt.
Willst du also $M=N$ zeigen, genügt es, nacheinander [mm] $M\subseteq [/mm] N$ und [mm] $N\subseteq [/mm] M$ zu zeigen.
Das ist fast immer das Mittel der Wahl, wenn die Gleichheit zweier Mengen zu zeigen ist.
Und wie zeigt man z.B. [mm] $M\subseteq [/mm] N$ (d.h. dass für alle [mm] $x\in [/mm] M$ auch [mm] $x\in [/mm] N$ gilt)?
"Sei [mm] $x\in [/mm] M$ beliebig vorgegeben.
(hier passende Argumentation einfügen)
Also folgt [mm] $x\in [/mm] N$."
Da x beliebig vorgegeben war, folgt dann also wie gewünscht [mm] $x\in [/mm] N$ für ALLE [mm] $x\in [/mm] M$.
> (i) A ⊆ B
> (ii) A ∩ B = A
> (iii) A ∪ B = B
> (iv) A ∩ (X \ B) = ∅
> (v) (X \ A) ∪ B = X
Zu (i)=>(ii):
Wir setzen (wie meine Vorredner schon erklärt haben) [mm] $A\subseteq [/mm] B$ als wahr voraus und müssen [mm] $A\cap [/mm] B=A$ zeigen.
Zeige also nacheinander:
1. [mm] $A\cap B\subseteq [/mm] A$
2. [mm] $A\subseteq A\cap [/mm] B$.
Zu 1.:
Sei [mm] $x\in A\cap [/mm] B$ beliebig vorgegeben.
Wegen [mm] $x\in A\cap [/mm] B$ gilt nach Definition des Durchschnitts ... und ...
Insbesondere folgt [mm] $x\in [/mm] A$.
Zu 2.:
Sei [mm] $x\in [/mm] A$ beliebig vorgegeben.
Zu zeigen ist [mm] $x\in A\cap [/mm] B$, d.h. wir müssen zeigen:
a) [mm] $x\in [/mm] A$
und
b) [mm] $x\in [/mm] B$.
Für a) ist nichts weiter zu zeigen, da ja [mm] $x\in [/mm] A$ vorgegeben war.
Zu b): Bringe (i) ins Spiel!
Viele Grüße
Tobias
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