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| Aufgabe | | Sind die folgen konvergent? Geben Sie gegebenenfalls den Grenzwert an. |
[mm] \bruch{n^{2}}{8^{n}}
[/mm]
Bei diesem Beispiel ist erklärt worden das wir [mm] n^{2} [/mm] durch [mm] 3^{n} [/mm] ersetzten kann, weil [mm] n^{2} \le 3^{n} [/mm] ist(das wurde mittel vollstädndiger Induktion bewiesen).
Daraus ergibt sich das der Grenzwert 0 ist. Und dann beweisen wir mittels [mm] |a_{n} [/mm] - a| < [mm] \varepsilon [/mm] das dieser Grenzwert richtig ist, und ich verstehen nicht wie ich das mit einsetzten der Folge und des Grenzwertes bewiesen hab. Das ganze hat dann so ausgesehen:
[mm] |\bruch{n^{2}}{8^{n}} [/mm] - 0| < [mm] \varepsilon [/mm]
Hoffe das mir jemand sobald als möglich sagt warum ich damit den Grenzwert beweisen kann.
mfg tom
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo original_tom und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Sind die folgen konvergent? Geben Sie gegebenenfalls den
> Grenzwert an.
> [mm]\bruch{n^{2}}{8^{n}}[/mm]
>
> Bei diesem Beispiel ist erklärt worden das wir [mm]n^{2}[/mm] durch
> [mm]3^{n}[/mm] ersetzten kann, weil [mm]n^{2} \le 3^{n}[/mm] ist(das wurde
> mittel vollstädndiger Induktion bewiesen).
>
> Daraus ergibt sich das der Grenzwert 0 ist. Und dann
> beweisen wir mittels [mm]|a_{n}[/mm] - a| < [mm]\varepsilon[/mm] das dieser
> Grenzwert richtig ist, und ich verstehen nicht wie ich das
> mit einsetzten der Folge und des Grenzwertes bewiesen hab.
> Das ganze hat dann so ausgesehen:
> [mm]|\bruch{n^{2}}{8^{n}}[/mm] - 0| < [mm]\varepsilon[/mm]
offenbar steht zwischen den Betragsstrichen etwas positives, man kann die Betragsstriche also weglassen:
zu zeigen: es gibt einen Index [mm] N_0, [/mm] so dass für alle [mm] n>N_0 [/mm] gilt: [mm] \bruch{n^{2}}{8^{n}}-0<\varepsilon
[/mm]
nun habt Ihr schon bewiesen, dass gilt: [mm] \bruch{n^{2}}{8^{n}}\le\bruch{3^n}{8^{n}} [/mm] für alle n.
wenn wir also ein [mm] N_0 [/mm] so finden, dass [mm] \bruch{3^n}{8^{n}}<\varepsilon [/mm] für [mm] n>N_0 [/mm] gilt, sind wir fertig.
[mm] \bruch{3^n}{8^{n}}=(\bruch{3}{8})^n<\varepsilon
[/mm]
nehmen wir mal an, [mm] \varepsilon=10^{-3}
[/mm]
dann haben wir: [mm] (\bruch{3}{8})^n<10^{-3}
[/mm]
Kannst du diese Ungleichung nach n auflösen? Logarithmieren! Aufs Vorzeichen achten!
Du bekommst dann eine Zahl heraus, die besagt, wenn n größer ist als diese Zahl dann stimmt die Ungleichung.
Und das kannst du für jedes beliebige [mm] \varepsilon [/mm] machen...
Es gibt also für jedes [mm] \varepsilon [/mm] ein [mm] N_0, [/mm] so dass.... (siehe oben).
jetzt bist du dran...
Gruß informix
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