Beweiserläuterung < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Bewiesen werden soll, dass
[mm] \summe_{i=1}^{n}=\bruch{1}{2}n(n+1) [/mm] |
Hallo,
ich habe hier ein Beispiel zur vollständigen Induktion vorliegen.
Leider komme ich nicht hinter einen der Induktionsschritte.
A(n) = [mm] \summe_{i=1}^{n}=\bruch{1}{2}n(n+1)
[/mm]
Die Bedingung n=1 ist wahr.
Es folgt der Induktionsschritt. Jetzt wollen wir zeigen : Wenn die aussage A8k) wahr ist, dann ist auch A8k+1) wahr.
Nehmen wir also an, dass A(k) für irgendein k wahr ist.
Es gelte also:
[mm] \summe_{i=1}^{k}=\bruch{1}{2}k(k+1).
[/mm]
Nun untersuchen wir, welche Auswirkung A(k+1) hat
[mm] \summe_{i=1}^{k+1}=\bruch{1}{2}(k+1)((k+1)+1).
[/mm]
Wenn nun aber eine Aussage, die eine Summe enthält, mittels Induktion gezeigt werden soll, dann ist die kompliziertere Seite normalerweise diejenige, die die Summe enthält.
[mm] \summe_{i=1}^{k+1}=(\summe_{i=1}^{k}) [/mm] +(k+1)
aufgrund der Definition der Summen gilt
[mm] =(\bruch{1}{2}k(k+1))+(k+1)
[/mm]
aufgrund der Induktionsannahme, dass A(k) wahr ist
= [mm] ((\bruch{1}{2}k+1) \* [/mm] (k+1)
So, damit bin ich zu dem einzigen Umformungsschritt angekommen, den ich nicht nachvollziehen kann ( ich habe die folgenden Schritte weggelassen, das sie kein Problem für mich darstellen).
Es würde mich sehr freuen, wenn sich jemand findet, um diesen Schritt zu erklären.
Vielen Dank im voraus.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:21 Do 21.05.2015 | | Autor: | fred97 |
> Bewiesen werden soll, dass
> [mm]\summe_{i=1}^{n}=\bruch{1}{2}n(n+1)[/mm]
Das soll wohl so lauten:
[mm]\summe_{i=1}^{n}i=\bruch{1}{2}n(n+1)[/mm]
> Hallo,
>
> ich habe hier ein Beispiel zur vollständigen Induktion
> vorliegen.
> Leider komme ich nicht hinter einen der
> Induktionsschritte.
>
> A(n) = [mm]\summe_{i=1}^{n}=\bruch{1}{2}n(n+1)[/mm]
s.o.
> Die Bedingung n=1 ist wahr.
>
> Es folgt der Induktionsschritt. Jetzt wollen wir zeigen :
> Wenn die aussage A8k) wahr ist, dann ist auch A8k+1) wahr.
> Nehmen wir also an, dass A(k) für irgendein k wahr ist.
> Es gelte also:
> [mm]\summe_{i=1}^{k}=\bruch{1}{2}k(k+1).[/mm]
Wieder: [mm]\summe_{i=1}^{k}i=\bruch{1}{2}k(k+1).[/mm]
> Nun untersuchen wir, welche Auswirkung A(k+1) hat
> [mm]\summe_{i=1}^{k+1}=\bruch{1}{2}(k+1)((k+1)+1).[/mm]
Es soll gezeigt werden: [mm]\summe_{i=1}^{k+1}i=\bruch{1}{2}(k+1)((k+1)+1).[/mm]
>
> Wenn nun aber eine Aussage, die eine Summe enthält,
> mittels Induktion gezeigt werden soll, dann ist die
> kompliziertere Seite normalerweise diejenige, die die Summe
> enthält.
>
> [mm]\summe_{i=1}^{k+1}=(\summe_{i=1}^{k})[/mm] +(k+1)
Korrekt lautet es:
[mm]\summe_{i=1}^{k+1}i=(\summe_{i=1}^{k}i)[/mm] +(k+1)
>
> aufgrund der Definition der Summen gilt
>
> [mm]=(\bruch{1}{2}k(k+1))+(k+1)[/mm]
Nein. Es gilt nach Induktionsvoraussetzung:
[mm] \summe_{i=1}^{k+1}i=(\bruch{1}{2}k(k+1))+(k+1)
[/mm]
>
> aufgrund der Induktionsannahme, dass A(k) wahr ist
> = [mm]((\bruch{1}{2}k+1) \*[/mm]
> (k+1)
>
> So, damit bin ich zu dem einzigen Umformungsschritt
> angekommen, den ich nicht nachvollziehen kann ( ich habe
> die folgenden Schritte weggelassen, das sie kein Problem
> für mich darstellen).
Im Term [mm] (\bruch{1}{2}k(k+1))+(k+1) [/mm] wurde (k+1) ausgeklammert.
FRED
>
> Es würde mich sehr freuen, wenn sich jemand findet, um
> diesen Schritt zu erklären.
>
> Vielen Dank im voraus.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:16 Fr 22.05.2015 | | Autor: | Windbeutel |
Danke dir,
da habe ich mal wieder das offensichtliche nicht gesehen.
Was Deine Bemerkung zu der Angabe "aufgrund der Definition der Summen gilt", das habe ich so aus dem Buch übernommen.
Aber Deine Angabe "Es gilt nach Induktionsvoraussetzung" scheint mir deutlich sinnvoller.
Auf jeden Fall danke ich Dir vielmals
|
|
|
|
