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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:35 Di 15.03.2005 | | Autor: | Fanatic |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich habe folgendes Problem!
ich habe hier eine aufgabe in der ich nicht ganz durch steige:
Gegeben ist die Funktion h durch h(x)= x*sin [mm] \bruch{ \pi}{x}
[/mm]
Ihr Schaubild sei H.
Untersuche sie, ob h ander Stelle x=0 so ergänzen kann, daß eine auf [mm] \IR
[/mm]
stetige Funktion entsteht.
Zeigen Sie, daß die Gerade y=x das Schaubild H in unendlich vielen Punkten berührt und ermitteln Sie das kleinste Intervall, in dem die Abszissen aller Berührpunkte liegen.
Folgende Ideen hab ich:
Um h an der Stelle x=0 laufen zu lassen setze ich für [mm] x=\bruch{1}{ n},und [/mm] für n dann unendlich ein
das bedeutet es geht gegen null, eingesetz würde sich das "Unendlich" wieder rauskürzen und 1 blieb übrig und man kann sagen das keine stetige Funktion ensteht oder?
Das 2te ist, das ich überhaupt nicht weiß wie ich beweisen soll das die Gerade y=x , also die Winkelhalbierende,das Schaubild H in unendlich vielen Punkten berührt.
3te: Das Intervall zu berechnen ist einfach, gleichsetzen, um die erste Zahl des intervalls zu bekommen und nochmal mit y=-x gleichsetzten um die 2te Zahl das Intervalls zu ermitteln!
So ich hoffe ihr könnt mir helfen!
Dies ist mein erster Post und ich hoffe ich habe alles richtig gemacht!
Danke für die Hilfe
mfg
Fanatic
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Hallo,
zu 1)
Die Funktion lässt sich für x=0 stetig fortsetzen, denn es gilt:
[mm]\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \;x\;\sin \left( {\frac{\pi }
{x}} \right)\; = \;0[/mm]
zu 2)
Setze die beiden Funktionen einfach gleich und ermittle deren Schnittpunkte:
[mm]x\; = \;x\;\sin \left( {\frac{\pi }
{x}} \right)[/mm]
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:11 Di 15.03.2005 | | Autor: | Fanatic |
also wenn ich die beiden gleichse kommt da was mit 0,03 raus
und zu 1) leider verstehe ich das nicht ! Kannst du mir das vielleicht erläutern?
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Hallo,
zu 1)
Das kann ich mir so erklären, daß die Sinus-Funktion beschränkt ist.
Demnach muß gelten:
[mm] - x\; \leqslant \;x\;\sin \left( {\frac{\pi }
{x}} \right)\; \leqslant \;x[/mm]
Diese Ungleichung ist für alle x erfüllt, auch für x = 0:
Dann gilt:
[mm]0\; \leqslant \;0\;\sin \left( {\frac{\pi }
{0}} \right)\; \leqslant \;0[/mm]
Hieraus folgt:
[mm]\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \;x\;\sin \left( {\frac{\pi }
{x}} \right)\; = \;0[/mm]
zu 2)
[mm]\[
\begin{gathered}
x\; = \;x\;\sin \left( {\frac{\pi }
{x}} \right) \hfill \\
\Leftrightarrow \;x\; - \;x\;\sin \left( {\frac{\pi }
{x}} \right)\; = \;0 \hfill \\
\Leftrightarrow \;x\;\left( {1\; - \;\sin \left( {\frac{\pi }
{x}} \right)} \right)\; = \;0 \hfill \\
\Rightarrow \;x\; = \;0\; \vee \;\sin \left( {\frac{\pi }
{x}} \right)\; = \;1 \hfill \\
\Leftrightarrow \;x\; = \;0\; \vee \;x\; = \;\frac{2}
{{4k + 1}},\;k\; \in \;\mathbb{N}_0 \hfill \\
\hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:06 Mi 16.03.2005 | | Autor: | Fanatic |
mhh
mit der Stetigkeit hab ichs auch noch nicht so verstanden :D
sry!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:50 Mi 16.03.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Fanatic!
Die [mm] $\sin$-Funktion [/mm] ist doch beschränkt, sprich: die Funktionswerte der [mm] $\sin$-Funktion [/mm] können nur folgende Werte annehmen:
$-1 \ [mm] \le [/mm] \ [mm] \sin(z) [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ +1$ [mm] $\forall [/mm] \ z$
Dies' gilt natürlich auch für [mm] $\sin\left( \bruch{\pi}{x}\right)$:
[/mm]
$-1 \ [mm] \le [/mm] \ [mm] \sin\left( \bruch{\pi}{x}\right) [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ +1$ [mm] $\forall [/mm] \ x$
Wenn wir nun unsere Grenzwertbetrachtung für $x \ [mm] \to [/mm] \ 0$ machen, können wir unterscheiden (Fallunterscheidung):
[mm] $\limes_{x\rightarrow 0} \left[ x * \sin\left( \bruch{\pi}{x}\right) \right] [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow 0} [/mm] x * [mm] \limes_{x\rightarrow 0} \left[ \sin\left( \bruch{\pi}{x}\right) \right] [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ [mm] \limes_{x\rightarrow 0} [/mm] x * (-1) \ = \ 0 * (-1) \ = \ 0$
[mm] $\limes_{x\rightarrow 0} \left[ x * \sin\left( \bruch{\pi}{x}\right) \right] [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow 0} [/mm] x * [mm] \limes_{x\rightarrow 0} \left[ \sin\left( \bruch{\pi}{x}\right) \right] [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ [mm] \limes_{x\rightarrow 0} [/mm] x * (+1) \ = \ 0 * (+1) \ = \ 0$
Wenn aber beides gelten soll $0 \ [mm] \le [/mm] \ [mm] \limes_{x\rightarrow 0} \left[ x * \sin\left( \bruch{\pi}{x}\right) \right] [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ 0$, folgt daraus:
[mm] $\limes_{x\rightarrow 0} \left[ x * \sin\left( \bruch{\pi}{x}\right) \right] [/mm] \ = \ 0$
Damit haben wir auch die Stetigkeit an der Stelle $x \ = \ 0$ gezeigt.
Gruß
Loddar
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