Beweisführung - kartesisches P < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:44 Do 03.11.2011 | | Autor: | Weonde |
| Aufgabe | | Es seien M, N, P, Q Mengen. Zeigen Sie: |
Guten Abend,
ich habe einen Beweis zuführen...
Dabei geht es um folgende Aussage:
[mm] \left( M \times P \right) \cup \left( N \times Q \right) \subset \left( {M \cup N}\right) \times \left( {P \cup Q}\right)
[/mm]
--> sei [mm] x,y\in\ (M,P) [/mm] [mm] \cup \left( N \times Q \right) [/mm] --> [mm] x,y\in\ [/mm] (M [mm] \cup [/mm] N) [mm] \times [/mm] (P [mm] \cup [/mm] Q)
--> (x [mm] \times [/mm] y) [mm] \cup [/mm] ( x [mm] \times [/mm] y) [mm] \subset [/mm] (x [mm] \subset [/mm] y) [mm] \times [/mm] (x [mm] \cup [/mm] y)
Dies ist mein Ansatz...Habe ich hier bereits Fehler gemacht? Oder kann ich hier weiterrechnen - falls ja - kann mir jemand einen Rat geben, wie?
Vielen Dank!
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Hallo Weonde,
da verstehe ich etwas nicht:
> Es seien M, N, P, Q Mengen. Zeigen Sie:
>
> ich habe einen Beweis zuführen...
> Dabei geht es um folgende Aussage:
>
> [mm] \left( M \times P \right) \cup \left( N \times Q \right) \subset \left( {M \cup N}\right) \times \left( {P \cup Q}\right)[/mm]
>
> --> sei [mm]x,y\in\ (M,P)[/mm] [mm]\cup \left( N \times Q \right)[/mm] -->
> [mm]x,y\in\[/mm] (M [mm]\cup[/mm] N) [mm]\times[/mm] (P [mm]\cup[/mm] Q)
Das ist die zu zeigende Aussage, nur auf ein einzelnes Element (bzw. 2-Tupel) bezogen.
> --> (x [mm]\times[/mm] y) [mm]\cup[/mm] ( x [mm]\times[/mm] y) [mm]\subset[/mm] (x [mm]\subset[/mm] y)
> [mm]\times[/mm] (x [mm]\cup[/mm] y)
Was soll das heißen? Was ist denn das kartesische Produkt einzelner Elemente bzw. eine Inklusion dieser Elemente?
> Dies ist mein Ansatz...Habe ich hier bereits Fehler
> gemacht? Oder kann ich hier weiterrechnen - falls ja - kann
> mir jemand einen Rat geben, wie?
Es ist relativ leicht zu zeigen, dass
[mm](M\cup N)\times(P\cup Q)=M\times P\cup M\times Q\cup N\times P\cup N\times Q[/mm]
Daraus würde die zu zeigende Behauptung ja sofort folgen.
Grüße
reverend
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:51 Fr 04.11.2011 | | Autor: | fred97 |
Probers mal so:
Sei $(x,y) [mm] \in [/mm] (M [mm] \times [/mm] P) [mm] \cup [/mm] (N [mm] \times [/mm] Q)$
Dann gibt es 2 Fälle:
Fall1: $(x,y) [mm] \in [/mm] (M [mm] \times [/mm] P)$. Dann ist x [mm] \in [/mm] M und y [mm] \in [/mm] P. Somit gilt: x [mm] \in [/mm] M [mm] \cup [/mm] N und y [mm] \in [/mm] P [mm] \cupQ. [/mm]
Also haben wir: (x,y) [mm] \in [/mm] (M $ [mm] \cup [/mm] $ N) $ [mm] \times [/mm] $ (P $ [mm] \cup [/mm] $ Q).
Fall 2: $(x,y) [mm] \in [/mm] (N [mm] \times [/mm] Q)$. Das erledigst jetzt Du.
FRED
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